Klasa
1 szko艂y 艣redniej
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi膮偶k臋
Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum, Zbi贸r zada艅

Funkcj臋 liczbow膮 f: X鈫扽 nazywamy funkcj膮 rosn膮c膮 w zbiorze A, A鈯俋, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, nale偶膮cych do zbioru A, z nier贸wno艣ci x1<x2 wynika nier贸wno艣膰 f(x1)<f(x2).

Funkcj臋 liczbow膮 f: X鈫扽 nazywamy funkcj膮 malej膮c膮 w zbiorze A, A鈯俋, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, nale偶膮cych do zbioru A, z nier贸wno艣ci x1<x2 wynika nier贸wno艣膰 f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powy偶szych definicji wynika, 偶e  gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, takich, 偶e x1<x2, wyra偶enie f(x1)-f(x2jest jest ujemne, to funkcja jest rosn膮ca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malej膮ca. [Aby otrzyma膰 te spostrze偶enia, wystarczy przenie艣膰 f(x2) na lew膮 stron臋 nier贸wno艣ci w definicji.]

Zgodnie z powy偶szym, aby zbada膰, kt贸ra funkcja jest rosn膮ca, a kt贸ra jest malej膮ca, wystarczy zbada膰 znak wyra偶enia f(x1)-f(x2).



a) Zak艂adamy, 偶e x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x鈭 (-鈭, 1).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c licznik jest liczb膮 dodatni膮.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, wi臋c mianownik jest liczb膮 dodatni膮.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb臋 dodatni膮 jest liczb膮 dodatni膮.

Funkcja f jest malej膮ca w danym przedziale.



b) Zak艂adamy, 偶e x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x鈭 (1,+鈭).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c licznik jest liczb膮 dodatni膮.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c mianownik jest liczb膮 dodatni膮.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb臋 dodatni膮 jest liczb膮 dodatni膮.

Funkcja f jest malej膮ca w danym przedziale.



c) We藕my x1=-1, x2=2. Zachodzi x1<x2, ale mamy:

 

 

 

Zatem funkcja f nie jest malej膮ca w danym zbiorze.

 

Komentarze