🎓 Wykaż, że funkcja f opisana wzorem... - Zadanie 8.138: Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum - strona 226
Przedmiot:
Matematyka
Wybrana książka:
Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum (Zbiór zadań, OE Pazdro)
Klasa:
I liceum
Strona 226

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)<f(x2).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że  gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x1)-f(x2jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x2) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x1)-f(x2).



a) Zakładamy, że x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x∈ (-∞, 1).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.



b) Zakładamy, że x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x∈ (1,+∞).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.



c) Weźmy x1=-1, x2=2. Zachodzi x1<x2, ale mamy:

 

 

 

Zatem funkcja f nie jest malejąca w danym zbiorze.

 

Komentarze
Informacje o książce
Wydawnictwo:
OE Pazdro
Rok wydania:
2016
Autorzy:
Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
ISBN:
9788375940794
Inne książki z tej serii:
Autor rozwiązania
Dagmara
54044

Nauczyciel

Z wykształcenia matematyk. W wolnym czasie lubię programować. Trenuję wspinaczkę.