Klasa
I liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi膮偶k臋
Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum, Zbi贸r zada艅
  • 8.138

    Zadanie

  • 8.139

    Zadanie

  • 8.140

    Zadanie

  • 8.141

    Zadanie

  • 8.142

    Zadanie

  • 8.143

    Zadanie

  • 8.144

    Zadanie

Funkcj臋 liczbow膮 f: X鈫扽 nazywamy funkcj膮 rosn膮c膮 w zbiorze A, A鈯俋, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, nale偶膮cych do zbioru A, z nier贸wno艣ci x1<x2 wynika nier贸wno艣膰 f(x1)<f(x2).

Funkcj臋 liczbow膮 f: X鈫扽 nazywamy funkcj膮 malej膮c膮 w zbiorze A, A鈯俋, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, nale偶膮cych do zbioru A, z nier贸wno艣ci x1<x2 wynika nier贸wno艣膰 f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powy偶szych definicji wynika, 偶e 聽gdy dla dowolnych argument贸w x1, x2, takich, 偶e聽x1<x2, wyra偶enie聽f(x1)-f(x2)聽jest jest ujemne, to funkcja jest rosn膮ca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malej膮ca. [Aby otrzyma膰 te spostrze偶enia, wystarczy przenie艣膰 f(x2) na lew膮 stron臋 nier贸wno艣ci w definicji.]

Zgodnie z powy偶szym, aby zbada膰, kt贸ra funkcja jest rosn膮ca, a kt贸ra jest malej膮ca, wystarczy zbada膰 znak wyra偶enia聽f(x1)-f(x2).



a) Zak艂adamy, 偶e聽x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2聽鈭 (-鈭, 1).

Ponadto mamy:


W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c licznik jest liczb膮 dodatni膮.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, wi臋c mianownik jest liczb膮 dodatni膮.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb臋 dodatni膮 jest liczb膮 dodatni膮.

Funkcja f jest malej膮ca w danym przedziale.



b) Zak艂adamy, 偶e聽x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2聽鈭 (1,+鈭).

Ponadto mamy:


W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c licznik jest liczb膮 dodatni膮.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi臋c mianownik jest liczb膮 dodatni膮.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb臋 dodatni膮 jest liczb膮 dodatni膮.

Funkcja f jest malej膮ca w danym przedziale.



c) We藕my x1=-1, x2=2. Zachodzi x1<x2, ale mamy:

Zatem funkcja f nie jest malej膮ca w danym zbiorze.

Komentarze