Klasa
I liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi─ů┼╝k─Ö
Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum, Zbiór zadań
  • 8.138

    Zadanie

  • 8.139

    Zadanie

  • 8.140

    Zadanie

  • 8.141

    Zadanie

  • 8.142

    Zadanie

  • 8.143

    Zadanie

  • 8.144

    Zadanie

Funkcj─Ö liczbow─ů f: XÔćĺY nazywamy funkcj─ů rosn─ůc─ů w zbiorze A, AÔŐéX, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument├│w x1, x2, nale┼╝─ůcych do zbioru A, z nier├│wno┼Ťci x1<x2 wynika nier├│wno┼Ť─ç f(x1)<f(x2).

Funkcj─Ö liczbow─ů f: XÔćĺY nazywamy funkcj─ů malej─ůc─ů w zbiorze A, AÔŐéX, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument├│w x1, x2, nale┼╝─ůcych do zbioru A, z nier├│wno┼Ťci x1<x2 wynika nier├│wno┼Ť─ç f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powy┼╝szych definicji wynika, ┼╝e ┬ágdy dla dowolnych argument├│w x1, x2, takich, ┼╝e┬áx1<x2, wyra┼╝enie┬áf(x1)-f(x2)┬ájest jest ujemne, to funkcja jest rosn─ůca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malej─ůca. [Aby otrzyma─ç te spostrze┼╝enia, wystarczy przenie┼Ť─ç f(x2) na lew─ů stron─Ö nier├│wno┼Ťci w definicji.]

Zgodnie z powy┼╝szym, aby zbada─ç, kt├│ra funkcja jest rosn─ůca, a kt├│ra jest malej─ůca, wystarczy zbada─ç znak wyra┼╝enia┬áf(x1)-f(x2).



a) Zak┼éadamy, ┼╝e┬áx1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2┬áÔłł (-Ôł×, 1).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi─Öc licznik jest liczb─ů dodatni─ů.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, wi─Öc mianownik jest liczb─ů dodatni─ů.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb─Ö dodatni─ů jest liczb─ů dodatni─ů.

Funkcja f jest malej─ůca w danym przedziale.



b) Zak┼éadamy, ┼╝e┬áx1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2┬áÔłł (1,+Ôł×).

Ponadto mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi─Öc licznik jest liczb─ů dodatni─ů.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, wi─Öc mianownik jest liczb─ů dodatni─ů.

Iloraz liczby dodatniej przez liczb─Ö dodatni─ů jest liczb─ů dodatni─ů.

Funkcja f jest malej─ůca w danym przedziale.



c) We┼║my x1=-1, x2=2. Zachodzi x1<x2, ale mamy:

 

 

 

Zatem funkcja f nie jest malej─ůca w danym zbiorze.

 

Komentarze