Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)<f(x2).
Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)>f(x2).
Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x1)-f(x2) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x2) na lewą stronę nierówności w definicji.]
Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x1)-f(x2).
a) Zakładamy, że x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2 ∈ (-∞, 1).
Ponadto mamy:
W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.
W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią.
Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.
Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.
b) Zakładamy, że x1<x2, czyli x2-x1>0, gdzie x1, x2 ∈ (1,+∞).
Ponadto mamy:
W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.
W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.
Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.
Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.
c) Weźmy x1=-1, x2=2. Zachodzi x1<x2, ale mamy:
Zatem funkcja f nie jest malejąca w danym zbiorze.
Dagmara Kowalczuk
Nauczycielka matematyki
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.
