Wykaż, że funkcja f opisana wzorem...

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że  gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x₁)-f(x₂) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x₂) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞, 1).

Ponadto mamy:

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (1,+∞).

Ponadto mamy:

W liczniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc licznik jest liczbą dodatnią.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią jest liczbą dodatnią.

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.

c) Weźmy x₁=-1, x₂=2. Zachodzi x₁<x₂, ale mamy:

Zatem funkcja f nie jest malejąca w danym zbiorze.