Przypomnijmy twierdzenie, z którego będziemy korzystać:

Liczba przekątnych w  $n-$ kącie, gdzie  $n\in \mathbf{N},n\ge 3,$  wyraża się wzorem  $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$  

---

$\text{a)}n-$  liczba boków wielokąta

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}-$  liczba przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych jest trzy razy większa od liczby boków. Stąd:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=3n\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=6n$  

$n^2-3n=6n$  

$n^2-9n=0$  

$n\left(n-9\right)=0$  

$n=0\vee n-9=0$  

$n=0\vee n=9$  

Przypadek  $n=0$  odrzucamy, bo liczba boków wielokąta jest zawsze nie mniejsza od  $3.$  

Zatem  $n=9.$  

Odp. Szukany wielokąt jest dziewięciokątem. 

---

$\text{b)}n-$  liczba boków wielokąta

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}-$  liczba przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych jest pięć i pół raza większa od liczby boków. Stąd:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=5,5n\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=11n$  

$n^2-3n=11n$  

$n^2-14n=0$  

$n\left(n-14\right)=0$  

$n=0\vee n-14=0$  

$n=0\vee n=14$  

Przypadek  $n=0$  odrzucamy, bo liczba boków wielokąta jest zawsze nie mniejsza od  $3.$  

Zatem  $n=14.$  

Odp. Szukany wielokąt jest czternastokątem. 

---

$\text{c)}n-$  liczba boków wielokąta

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}-$  liczba przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych jest osiem razy większa od liczby boków. Stąd:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=8n\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=16n$  

$n^2-3n=16n$  

$n^2-19n=0$  

$n\left(n-19\right)=0$  

$n=0\vee n-19=0$  

$n=0\vee n=19$  

Przypadek  $n=0$  odrzucamy, bo liczba boków wielokąta jest zawsze nie mniejsza od  $3.$  

Zatem  $n=19.$  

Odp. Szukany wielokąt jest dziewiętnastokątem. 

---

$\text{d)}n-$  liczba boków wielokąta

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}-$  liczba przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych jest jedenaście razy większa od liczby boków. Stąd:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=11n\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=22n$  

$n^2-3n=22n$  

$n^2-25n=0$  

$n\left(n-25\right)=0$  

$n=0\vee n-25=0$  

$n=0\vee n=25$  

Przypadek  $n=0$  odrzucamy, bo liczba boków wielokąta jest zawsze nie mniejsza od  $3.$  

Zatem  $n=25.$  

Odp. Szukany wielokąt jest dwudziestopięciokątem.