Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.- Zadanie 3.82: Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$(x + 2) (x^{2} + 2 x + 1) \neq = 0$

$(x + 2) (x + 1)^{2} \neq = 0$

$x + 2 \neq = 0 \land (x + 1)^{2} \neq = 0$

$x + 2 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$\underline{x \neq = - 2} \land \underline{x \neq = - 1}$

Skracamy ułamek:

$\frac{( x + 1 ) x ^{2} - 4 ( x + 1 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) \cdot ( x ^{2} - 4 )}{( x + 2 ) ( x + 1 ) ^{2^{1}}} = \frac{( x - 2 ) \cdot ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 2}{x + 1}$

$b)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$(x - 3)^{2} \neq = 0$

$x - 3 \neq = 0$

$\underline{x \neq = 3}$

Skracamy ułamek:

$\frac{x ^{2} ( 3 - x ) - 9 ( 3 - x )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{( 3 - x ) ( x ^{2} - 9 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} =$

$= \frac{- ( x - 3 ) ^{2} \cdot ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} = - (x + 3) = - x - 3$

$c)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$x^{2} + 10 x + 25 \neq = 0$

$(x + 5)^{2} \neq = 0$

$x + 5 \neq = 0$

$\underline{x \neq = - 5}$

Skracamy ułamek:

$\frac{25 ( x + 5 ) - ( x + 5 ) x ^{2}}{x ^{2} + 10 x + 25} = \frac{( x + 5 ) \cdot ( 25 - x ^{2} )}{( x + 5 ) ^{2^{1}}} = \frac{( 5 - x ) \cdot ( 5 + x )}{x + 5} = 5 - x$

$d)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$(x - 6) 6 - x (x - 6) \neq = 0$

$(x - 6) (6 - x) \neq = 0$

$(x - 6) \cdot (- 1) (x - 6) \neq = 0$

$- (x - 6)^{2} \neq = 0$

$x - 6 \neq = 0$

$\underline{x \neq = 6}$

Skracamy ułamek:

$\frac{x ^{3} - 12 x ^{2} + 36 x}{( x - 6 ) 6 - x ( x - 6 )} = \frac{x ( x ^{2} - 12 x + 36 )}{- ( x - 6 ) ^{2}} = \frac{x \cdot ( x - 6 ) ^{2}}{- 1 \cdot ( x - 6 ) ^{2}} = \frac{x}{- 1} = - x$

$e)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$x^{3} - x \neq = 0$

$x (x^{2} - 1) \neq = 0$

$x (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$\underline{x \neq = 0} \land \underline{x \neq = 1} \land \underline{x \neq = - 1}$

Skracamy ułamek:

$\frac{( x + 1 ) ^{2} - 2 ( x + 1 )}{x ^{3} - x} = \frac{( x + 1 ) ( x + 1 - 2 )}{x ( x ^{2} - 1 )} = \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x ( x ^{2} - 1 )} = \frac{x ^{2} - 1}{x \cdot ( x ^{2} - 1 )} = \frac{1}{x}$

$f)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$4 x - x^{3} \neq = 0$

$x (4 - x^{2}) \neq = 0$

$x (2 - x) (2 + x) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 2 - x \neq = 0 \land 2 + x \neq = 0$

$\underline{x \neq = 0} \land \underline{x \neq = 2} \land \underline{x \neq = - 2}$

Skracamy ułamek:

$\frac{2 x ( x - 4 ) + x ( x - 4 ) ^{2}}{4 x - x ^{3}} = \frac{x \cdot ( x - 4 ) [ 2 + ( x - 4 ) ]}{x \cdot ( 4 - x ^{2} )} = \frac{( x - 4 ) ( 2 + x - 4 )}{( 2 - x ) ( 2 + x )} =$

$= \frac{( x - 4 ) \cdot ( x - 2 )}{- ( x + 2 ) \cdot ( x - 2 )} = - \frac{x - 4}{x + 2}$

$g)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$(x - 2) x^{2} - (x - 2) \neq = 0$

$(x - 2) (x^{2} - 1) \neq = 0$

$(x - 2) (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$\underline{x \neq = 2} \land \underline{x \neq = 1} \land \underline{x \neq = - 1}$

Skracamy ułamek:

$\frac{( x - 1 ) x ^{2} - 4 ( x - 1 ) x + 4 ( x - 1 )}{( x - 2 ) x ^{2} - ( x - 2 )} = \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} - 4 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x ^{2} - 1 )} =$

$= \frac{( x - 1 ) \cdot ( x - 2 ) ^{2^{1}}}{( x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 )} = \frac{x - 2}{x + 1}$

$h)$ Mianownik ułamka nie może być zerem. Stąd:

$(x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 1 \neq = 0$

$[(x + 1) + 1]^{2} \neq = 0$

$(x + 2)^{2} \neq = 0$

$x + 2 \neq = 0$

$\underline{x \neq = - 2}$

Skracamy ułamek:

$\frac{( x + 3 ) ^{2} - 2 ( x + 3 ) + 1}{( x + 1 ) ^{2} + 2 ( x + 1 ) + 1} = \frac{[ ( x + 3 ) - 1 ] ^{2}}{[ ( x + 1 ) + 1 ] ^{2}} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} = 1$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.