$a)$  

Zauważmy, że:

${22,5}^{\circ }\cdot 2={45}^{\circ }$  

${45}^{\circ }\cdot 2={90}^{\circ }$  

Kąt ${90}^{\circ }$  umiemy skonstruować. Zaczynamy od konstrukcji dwóch prostych prostopadłych, aby otrzymać kąt ${90}^{\circ }$ . Na prostej zaznaczamy kąt $A$ . Następnie z tego punktu kreślimy cyrklem okrąg o dowolnym promieniu i zaznaczamy punkty przecięcia się z prostą:

Zauważmy, że $\left|AB\right|=\left|AC\right|$ . Następnie z punktów $B$  i $C$  kreślimy przecinające się łuki o promieniu większym od odcinka $AC$ . Otrzymujemy punkty przecięcia  $D$  i $E$ :

Prowadzimy prostą przez punkty $D$  i $E$ . Otrzymaliśmy zatem symetralną odcinka $BC$ , czyli prostą  $k$   prostopadłą do początkowej prostej:

Przenieśmy kąt prosty i zaznaczmy okrąg o środku w punkcie $A$  oraz jego przecięcia z ramionami kąta prostego:

Następnie z punktów $M$  i $N$  prowadzimy łuki o takich samych promieniach przecinające się wewnątrz kąta prostego:

Otrzymaliśmy punkt $K$ . Z wierzchołka $A$  prowadzimy półprostą przez punkt $K$ , która jest dwusieczną kąta prostego, czyli otrzymaliśmy kąt ${45}^{\circ }$ :

Wiemy, że kąt ${22,5}^{\circ }$  jest połową kąta ${45}^{\circ }$ , czyli ponownie wykonując konstrukcję dwusiecznej dla kąta $\angle NAL$  otrzymamy kąt o mierze ${22,5}^{\circ }$ . Z punktów $N$  i $L$  rysujemy łuki o takim samym promieniu przecinające się wewnątrz kąta $\angle NAL$ . Otrzymujemy pewien punkt przecięcia się tych łuków $P$ . Z wierzchołka $A$  prowadzimy półprostą przez punkt $P$  i otrzymujemy dwusieczną kąta $\angle NAL$ , która wyznacza kąt ${22,5}^{\circ }$ :

Wówczas:

$\left|\angle NAP\right|={22,5}^{\circ }$  

 

$b)$  

Chcemy wyznaczyć kąt ${195}^{\circ }$ . Ma on większą miarę od kąta półpełnego. Zauważmy, że:

${180}^{\circ }+{15}^{\circ }={195}^{\circ }$  

Z tego wynika, że kąt jest złożeniem kąta ${15}^{\circ }$  i kąta ${180}^{\circ }$ . Konstrukcja kąta półpełnego jest prosta, ponieważ przez dowolny kąt wystarczy poprowadzić dowolną prostą. Skomplikowana natomiast może się wydawać konstrukcja kąta ${15}^{\circ }$ . Zauważmy, że:

${15}^{\circ }\cdot 2={30}^{\circ }$  

${30}^{\circ }\cdot 2={60}^{\circ }$  

Kąt ${60}^{\circ }$  możemy skonstruować korzystając z konstrukcji trójkąta równobocznego.

Konstruujemy trójkąt równoboczny:

Rysujemy odcinek $AB$  o dowolnej długości. Następnie z końców tego odcinka rysujemy łuki o promieniu równym długości tego odcinka i zaznaczamy ich punkt przecięcia się $C$ . Łączymy punktu $A$  i $B$  z punktem $C$  i otrzymujemy trójkąt równoboczny:

Wiemy, że:

$\left|\angle BAC\right|=\left|\angle ABC\right|=\left|\angle ACB\right|={60}^{\circ }$  

Przenieśmy kąt $\left|\angle BAC\right|$  i wyznaczmy tego dwusieczną (jak w podpunkcie a)). Wówczas otrzymamy kąt ${30}^{\circ }$ :

W analogiczny sposób wyznaczamy dwusieczną kąta $\angle EAK$ :

Wówczas kąt $\angle EAP$  ma miarę ${15}^{\circ }$ .  Przenosimy ten kąt:

Zauważmy, że wystarczy przedłużyć półprostą, na której znajdują się punkty $A$  i $P$ , aby otrzymać kąt półpełny. Otrzymujemy zatem, że:

Ponieważ:

${180}^{\circ }+{15}^{\circ }={195}^{\circ }$  

To:

$\left|\angle EAR\right|={195}^{\circ }$  

 

$c)$  

Chcemy wyznaczyć kąt ${195}^{\circ }$ . Ma on mniejszą miarę od kąta półpełnego. Zauważmy, że:

${180}^{\circ }-{15}^{\circ }={165}^{\circ }$  

Z tego wynika, że kąt jest różnicą kąta ${180}^{\circ }$  i kąta ${15}^{\circ }$ . Rysujemy prostą i zaznaczamy na niej punkt $A$ . Następnie z podpunktu $b)$  przenosimy kąt o mierze ${15}^{\circ }$  na tą prostą. Wówczas: