$a)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$x=\left(2n+1\right)+\left(2n+3\right)+\left(2n+5\right)$  

Liczba jest nieparzysta jeżeli można ją zapisać w postaci:

$x=2m+1$   

gdzie x jest liczbą nieparzystą, m jest dowolną liczbą naturalną. W naszym przypadku mamy, że:

$x=\left(2n+1\right)+\left(2n+3\right)+\left(2n+5\right)$  

$x=\underline{\underline{2n}}+\underline{1}+\underline{\underline{2n}}+\underline{3}+\underline{\underline{2n}}+\underline{5}$  

$x=6n+9$  

$x=6n+8+1$   

$x=2\left(3n+4\right)+1$  

W naszym przypadku:

$m=3n+4$  

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to liczba m również jest liczbą naturalną. Otrzymaliśmy zatem:

$x=2\left(3n+4\right)+1$  

$x=2m+1$  

Oznacza to, że liczba x jest liczbą nieparzystą.

 

$b)$   

W zadaniu podane mamy, że:

$x={\left(2n+1\right)}^2$  

Liczba jest nieparzysta jeżeli można ją zapisać w postaci:

$x=2m+1$   

gdzie x jest liczbą nieparzystą, m jest dowolną liczbą naturalną. W naszym przypadku mamy, że:

$x={\left(2n+1\right)}^2$  

$x=4n^2+4n+1$  

$x=2\left(2n^2+2n\right)+1$  

W naszym przypadku:

$m=2n^2+2n$  

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to liczba m również jest liczbą naturalną. Otrzymaliśmy zatem:

$x=2\left(2n^2+2n\right)+1$  

$x=2m+1$  

Oznacza to, że liczba x jest liczbą nieparzystą.

 

$c)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$x={\left(2n-1\right)}^2+3$  

Liczba x dzieli się przez 4 jeżeli można ją zapisać jako iloczyn:

$x=4m$  

gdzie m jest liczbą naturalną. W naszym przypadku mamy, że:

$x={\left(2n-1\right)}^2+3$  

$x=4n^2-4n+1+3$  

$x=4n^2-4n+4$  

$x=4\left(n^2-n+1\right)$  

W naszym przypadku:

$m=n^2-n+1$  

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to liczba m również jest liczbą naturalną. Otrzymaliśmy zatem:

$x=4\left(n^2-n+1\right)$  

$x=4m$  

Co oznacza, że liczba x jest podzielna przez 4.

 

$d)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$x=\left(n+1\right)\left(n-1\right)-{\left(n-1\right)}^2$  

Liczba jest parzysta jeżeli można ją zapisać w postaci:

$x=2m$   

gdzie x jest liczbą parzystą, m jest dowolną liczbą naturalną. W naszym przypadku mamy, że:

$x=\left(n+1\right)\left(n-1\right)-{\left(n-1\right)}^2$  

$x=\left(n^2-1\right)-{\left(n-1\right)}^2$  

$x=\left(n^2-1\right)-\left(n^2-2n+1\right)$  

$x=\underline{n^2}-\underline{\underline{1}}-\underline{n^2}+2n-\underline{\underline{1}}$  

$x=2n-2$  

$x=2\left(n-1\right)$  

W naszym przypadku:

$m=n-1$  

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to liczba m również jest liczbą naturalną. Otrzymaliśmy zatem:

$x=2\left(n-1\right)$  

$x=2m$  

Oznacza to, że liczba x jest liczbą parzystą.