Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia, jak na rysunku.

Wiemy, ze objętość ostrosłupa wynosi:

$V=150\sqrt{3}{\text{cm}}^3$  

Obliczamy pole podstawy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$150\sqrt{3}=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\cdot P_p\cdot {\sout{12}}^4$  

$150\sqrt{3}=4P_p\mid :4$  

$P_p=\frac{{\sout{150}}^{75}\sqrt{3}}{{\sout{4}}^2}=\frac{75\sqrt{3}}{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Ostrosłup jest prawidłowy sześciokątny, więc w podstawie znajduje się sześciokąt foremny.

Korzystając z pola sześciokąta foremnego wyznaczamy długość krawędzie podstawy

(sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równobocznych):

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$\frac{75\sqrt{3}}{2}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\mid \cdot 4$  

${\sout{4}}^2\cdot \frac{75\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=6a^2\sqrt{3}$  

$150\sqrt{3}=6a^2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$     

$150=6a^2\mid :6$  

$a^2=25$  

$a=\sqrt{25}=5\left[\text{cm}\right]$  

Krawędzie boczne są równej długości, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy.

Wysokość ostrosłupa, odcinek będący połową przekątnej podstawy oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny

(połowa przekątnej podstawy ma taką samą długość jak krawędź podstawy, gdyż jest ona bokiem trójkąta równobocznego, na które można podzielić podstawę)

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej:

$b^2={12}^2+5^2$  

$b^2=144+25=169$  

$b=\sqrt{169}=13\left[\text{cm}\right]$  

Odp: Krawędzie podstawy mają długość $5\text{cm}$ , a krawędzie boczne mają  $13\text{cm}$  długości.