W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości  $a$ , przeciwprostokątna ma długość  $a\sqrt{2}$ .  

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

$\sqrt{a^2+2^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2\cdot a^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2}=\sqrt{2}\cdot a=a\sqrt{2}$  

 

Wykorzystujemy powyższe informacje dla trójkąta $ABC$  i obliczamy długość przekątnej  $AC$  

$a=2$  

$a\sqrt{2}=2\sqrt{2}$  

Przekątna $AC$  ma długość $2\sqrt{2}$ .

 

Zauważmy, że możliwe są dwa przypadki ułożenia tego trójkąta: 

 

1. Punkty $K$  i  $L$  leżą na bokach $AB$  i  $AD$    

Taka sytuacja będzie miała miejsce, gdy wysokość trójkąta $h$  będzie krótsza od połowy długości przekątnej tego kwadratu, czyli $h<\sqrt{2}$ .

 

Nie możemy rozważać przypadku gdy $h=0$ , ponieważ wtedy punkty $K$  i $L$  pokryją się z punktem $A$ .

 

Rozumowanie nie zmieni się gdy $h$  będzie równe $\sqrt{2}$  (musimy rozważyć wszystkie możliwe przypadki), dlatego bierzemy pod uwagę

$h\in (0,\sqrt{2}⟩$ .

 

2. Punkty $K$  i  $L$  leżą na bokach $BC$  i  $CD$

Będzie tak dla $h\in \left(\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$ .

Przedział jest lewostronnie otwarty, ponieważ zdarzenie, gdy $h=\sqrt{2}$  zawarte jest w przypadku 1.

i prawostronnie otwarty, ponieważ gdyby  $h$  było równe $2\sqrt{2}$ , to punkty $K$  i $L$  pokryłyby się z punktem $C$ .

 

 

Przypomnijmy, że pole trójkąta o boku długości $a$  i wysokości $h$  opuszczonej na ten bok obliczamy ze wzoru:

 

 

Przypadek 1.  $h\in (0,\sqrt{2}⟩$  

Do obliczenia pola trójkąta $AKL$  o wysokości  $\left|PA\right|=h$  potrzebna nam będzie długość jego podstawy $LK$ .

 

Wiemy, że trójkąt