$\text{a)}\left|x^2-4\right|=k^2+3$  

Niech:

$f\left(x\right)=\left|x^2-4\right|$  

$g\left(x\right)=k^2+3$  

$h\left(x\right)=x^2-4$  

Równanie  $f\left(x\right)=g\left(x\right)$  ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych mają, w zależności od wartości parametru  $k,$

wykresy funkcji  $f$  i  $g.$  Funkcja  $g\left(x\right)=k^2+3$  jest funkcją stałą.

Aby narysować wykres funkcji  $h,$  należy przesunąć wykres funkcji  $y=x^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[0,-4\right].$  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

Z rysunku odczytujemy, że równanie  $\left|x^2-4\right|=k^2+3:$  

$1)$  nie ma rozwiązań, gdy: 

$k^2+3<0\iff k^2<-3-$  nierówność sprzeczna

$2)$  ma dwa rozwiązania, gdy: 

$k^2+3=0\vee k^2+3>4\iff k^2=-3\vee k^2>1\iff k>1\vee k<-1\iff k\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$3)$  ma trzy rozwiązania, gdy:

$k^2+3=4\iff k^2=1\iff k=1\vee k=-1\iff k\in \left\{-1,1\right\}$   

$4)$  ma cztery rozwiązania, gdy:

$k^2+3>0\wedge k^2+3<4\iff k^2>-3\wedge k^2<1\iff k\in \mathbf{R}\wedge k<1\wedge k>-1\iff k\in \left(-1,1\right)$  

Podsumowując:

Równanie  $\left|x^2-4\right|=k^2+3$  

$1)$  ma dwa rozwiązania, gdy  $k\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right),$  

$2)$  ma trzy rozwiązania, gdy  $k\in \left\{-1,1\right\},$   

$3)$  ma cztery rozwiązania, gdy  $k\in \left(-1,1\right).$