$\text{a)}\left|-\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}\right|\le 2x-1$  

Rozwiązanie algebraiczne:

Zauważmy, że nierówność ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy funkcja po prawej stronie nierówności,

czyli  $y=2x-1$  przyjmuje wartości nieujemne. Sprawdźmy, kiedy tak jest:

$2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$  

Wówczas, z własności wartości bezwzględnej, mamy:

$-\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}\le 2x-1\wedge -\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}\ge -2x+1$  

$-\frac{1}{2}{x}^2-3x+3\frac{1}{2}\le 0\text{/}\cdot \left(-2\right)\wedge -\frac{1}{2}{x}^2+x+1\frac{1}{2}\ge 0\text{/}\cdot \left(-2\right)$  

$x^2+6x-7\ge 0\wedge x^2-2x-3\le 0$  

$\left(x+7\right)\left(x-1\right)\ge 0\wedge \left(x-3\right)\left(x+1\right)\le 0$  

$x\in (-\infty ,-7⟩\cup ⟨1,+\infty )\wedge x\in ⟨-1,3⟩$  

$x\in ⟨1,3⟩$  

$\text{Odp.}x\in ⟨1,3⟩.$  

 

Rozwiązanie graficzne:

Niech:

$f\left(x\right)=\left|-\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}\right|$  

$g\left(x\right)=2x-1$  

$h\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}$  

Aby rozwiązać nierówność  $\left|-\frac{1}{2}{x}^2-x+2\frac{1}{2}\right|\le 2x-1,$  wystarczy wyznaczyć zbiór tych argumentów,