$\text{a)}\left|x^2+2x+3\right|=\left|2x\right|$  

Rozwiązanie algebraiczne:

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|x^2+2x+3\right|=\left|2x\right|$  

$x^2+2x+3=2x\vee x^2+2x+3=-2x$  

$x^2+3=0\vee x^2+4x+3=0$  

$x^2=-3-\text{sprzecznosˊcˊ}\vee \left(x^2+4x+4\right)-4+3=0$  

${\left(x+2\right)}^2=1$  

$x+2=1\vee x+2=-1$  

$x=-1\vee x=-3$  

$\text{Odp.}x\in \left\{-3,-1\right\}.$  

---

Rozwiązanie graficzne:

Równanie  $\left|x^2+2x+3\right|=\left|2x\right|$  traktujemy jako równość dwóch funkcji.

Odcięte punktów ich przecięcia będą rozwiązaniami równania.

Niech:

$f\left(x\right)=\left|x^2+2x+3\right|$  

$g\left(x\right)=\left|2x\right|=2\left|x\right|$  

$h\left(x\right)=x^2+2x+3$  

Sprowadzamy wzór funkcji  $h$  do postaci kanonicznej:

$h\left(x\right)=x^2+2x+3=x^2+2x+1+2={\left(x+1\right)}^2+2$  

W takim razie, aby narysować wykres funkcji  $h,$  należy przesunąć wykres funkcji  $y=x^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[-1,2\right].$  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

Widzimy, że:

$f\left(-1\right)=g\left(-1\right)=2$  

$f\left(-3\right)=g\left(-3\right)=6$  

więc rozwiązaniami równania są $x\in \left\{-3,-1\right\}.$   

---

---

$\text{b)}\left|\frac{1}{4}{x}^2-2x+4\right|=\left|4-x\right|$  

Rozwiązanie algebraiczne:

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|\frac{1}{4}{x}^2-2x+4\right|=\left|4-x\right|$  

$\frac{1}{4}{x}^2-2x+4=4-x\vee \frac{1}{4}{x}^2-2x+4=-4+x$  

$\frac{1}{4}{x}^2-x=0\text{/}\cdot 4\vee \frac{1}{4}{x}^2-3x+8=0\text{/}\cdot 4$  

$x^2-4x=0\vee x^2-12x+32=0$  

$x\left(x-4\right)=0\vee \left(x-8\right)\left(x-4\right)=0$  

$x=0\vee x=4\vee x=8\vee x=4$  

$\text{Odp.}x\in \left\{0,4,8\right\}.$  

---

Rozwiązanie graficzne:

Równanie  $\left|\frac{1}{4}{x}^2-2x+4\right|=\left|4-x\right|$  traktujemy jako równość dwóch funkcji.

Odcięte punktów ich przecięcia będą rozwiązaniami równania.

Niech:

$f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}{x}^2-2x+4\right|$  

$g\left(x\right)=\left|4-x\right|$  

$h\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-2x+4$  

Sprowadzamy wzór funkcji  $h$  do postaci kanonicznej:

$h\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-2x+4=\frac{1}{4}\left(x^2-8x+16-16\right)+4=\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2$  

W takim razie, aby narysować wykres funkcji  $h,$  należy przesunąć wykres funkcji  $y=\frac{1}{4}{x}^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[4,0\right].$  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

Widzimy, że:

$f\left(0\right)=g\left(0\right)=4$  

$f\left(4\right)=g\left(4\right)=0$  

$f\left(8\right)=g\left(8\right)=4$  

więc rozwiązaniami równania są $x\in \left\{0,4,8\right\}.$   

---

---

$\text{c)}\left|-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}\right|=\left|5-x\right|$  

Rozwiązanie algebraiczne:

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}\right|=\left|5-x\right|$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}=5-x\vee -\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}=-5+x$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+4x-7\frac{1}{2}=0\vee -\frac{1}{2}{x}^2+2x+2\frac{1}{2}=0$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+4x-\frac{15}{2}=0\text{/}\cdot \left(-2\right)\vee -\frac{1}{2}{x}^2+2x+\frac{5}{2}=0\text{/}\cdot \left(-2\right)$  

$x^2-8x+15=0\vee x^2-4x-5=0$  

$\left(x-3\right)\left(x-5\right)=0\vee \left(x-5\right)\left(x+1\right)=0$  

$x=3\vee x=5\vee x=5\vee x=-1$   

$\text{Odp.}x\in \left\{-1,3,5\right\}.$  

---

Rozwiązanie graficzne:

Równanie  $\left|-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}\right|=\left|5-x\right|$  traktujemy jako równość dwóch funkcji.

Odcięte punktów ich przecięcia będą rozwiązaniami równania.

Niech:

$f\left(x\right)=\left|-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}\right|$  

$g\left(x\right)=\left|5-x\right|$  

$h\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-2\frac{1}{2}$  

Sprowadzamy wzór funkcji  $h$  do postaci kanonicznej:

$h\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9-9\right)-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2+2$  

W takim razie, aby narysować wykres funkcji  $h,$  należy przesunąć wykres funkcji  $y=-\frac{1}{2}{x}^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[3,2\right].$  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

Widzimy, że:

$f\left(-1\right)=g\left(-1\right)=6$  

$f\left(3\right)=g\left(3\right)=2$  

$f\left(5\right)=g\left(5\right)=0$  

więc rozwiązaniami równania są $x\in \left\{-1,3,5\right\}.$   

---

---

$\text{d)}\left|x^2+6x+9\right|=\left|x+1\right|$  

Rozwiązanie algebraiczne:

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|x^2+6x+9\right|=\left|x+1\right|$  

$x^2+6x+9=x+1\vee x^2+6x+9=-x-1$  

$x^2+5x+8=0\vee x^2+7x+10=0$  

$x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+8=0\vee x^2+7x+\frac{49}{4}-\frac{49}{4}+10=0$  

${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2=-\frac{7}{4}-\text{sprzecznosˊcˊ}\vee {\left(x+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$  

$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}\vee x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$  

$x=-2\vee x=-5$  

$\text{Odp.}x\in \left\{-5,-2\right\}.$  

---

Rozwiązanie graficzne:

Równanie  $\left|x^2+6x+9\right|=\left|x+1\right|$  traktujemy jako równość dwóch funkcji.

Odcięte punktów ich przecięcia będą rozwiązaniami równania.

Niech:

$f\left(x\right)=\left|x^2+6x+9\right|$  

$g\left(x\right)=\left|x+1\right|$  

$h\left(x\right)=x^2+6x+9={\left(x+3\right)}^2$  

Aby narysować wykres funkcji  $h,$  należy przesunąć wykres funkcji  $y=x^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[-3,0\right].$  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  $h$  symetrycznie względem osi  $OX,$  otrzymamy wykres funkcji  $f.$  

Widzimy, że:

$f\left(-5\right)=g\left(-5\right)=4$  

$f\left(-2\right)=g\left(-2\right)=1$   

więc rozwiązaniami równania są $x\in \left\{-5,-2\right\}.$