II liceum

II technikum

III technikum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mrow><mi>f</mi><mrow><mo fence="true">(</mo><mi>x</mi><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><mo>&lt;</mo><mrow><mi>g</mi><mrow><mo fence="true">(</mo><mi>x</mi><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{f{{\left({x}\right)}}}&lt;{g{{\left({x}\right)}}}</annotation></semantics></math>f(x)&lt;g(x)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>&lt;</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\frac{{1}}{{2}}{x}+{5}&lt;-{x}+{2}\frac{{1}}{{2}}\ \ \ {\mid}\cdot{2}</annotation></semantics></math>21​x+5&lt;−x+221​   ∣⋅2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mrow><mo fence="true">(</mo><mi>m</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo fence="true">)</mo></mrow><mo>⋅</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left({m}-{2}\right)}\cdot\frac{{3}}{{4}}=-{1}\ \ \ {\mid}\cdot\frac{{4}}{{3}}</annotation></semantics></math>(m−2)⋅43​=−1   ∣⋅34​

Usuńmy niewymierność ze współczynnika kierunkowego funkcji g:

Aby układ równań był nieoznaczony, należy dopisać drugie równanie tak, aby były modyfikacją pierwszego (możemy je mnożyć, dzielić, dodawać, odejmować obustronnie)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mn>3</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{y}=\frac{{2}}{{3}}{x}-{1}\ \ \ {\mid}\cdot{3}</annotation></semantics></math>y=32​x−1   ∣⋅3 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{3}{y}={2}{x}-{3}\ \ \ {\mid}-{3}{y}</annotation></semantics></math>3y=2x−3   ∣−3y
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mtext>    </mtext><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mtext> </mtext><mi>D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{2}{x}-{3}{y}-{3}={0}\ \ \ \ {o}{d}{p}.\ {D}</annotation></semantics></math>2x−3y−3=0    odp. D

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}+{x}=-{1}\\{y}={x}-{1}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{y+x=−1y=x−1​
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mtext>  </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}-{1}+{x}=-{1}\ \ {\mid}+{1}\\{y}={x}-{1}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{x−1+x=−1  ∣+1y=x−1​

Skoro za 4 godziny kolarz przekroczy linię mety, to w ciągu 1 godziny kolarz pokonuje

Komentarze