a) Podstawienie pomocnicze:

$t=\sin x,t\in \left[-1,1\right]$  

 

$g\left(t\right)=-t^2+4t+12=-t^2+6t-2t+12=-t\left(t-6\right)-2\left(t-6\right)=\left(t-6\right)\left(-t-2\right)=-\left(t-6\right)\left(t+2\right)$  

Wierzchołek:

$p=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$   

 

$f\left(p\right)=q$  

$f\left(2\right)=-\left(2-6\right)\left(2+2\right)=-\left(-4\right)\cdot 4=4\cdot 4=16$  

 

Postać kanoniczna:

$g\left(t\right)=-{\left(t-2\right)}^2+16$  

Stąd:

$f\left(x\right)=-{\left(\sin x-2\right)}^2+16$  

 

Musimy wybrać takie wartości sinusa by określić maksymalne wartości całego wyrażenia.

$\text{Dla}\sin x=-1$   

$y=-{\left(-1-2\right)}^2+16=-{\left(-3\right)}^2+16=-9+16=7$  

 

$\text{Dla}\sin x=1$  

$y=-{\left(1-2\right)}^2+16=-{\left(-1\right)}^2+16=-1+16=15$  

Funkcja jest ciągła zatem zbiór wartości to:

$Z{W}_f=\left[7,15\right]$