$a)y=\sin 3x$  

$3\left(x+T\right)=3x+2\pi$  

$3x+3T=3x+2\pi$  

$3T=2\pi$  

$T=\frac{2\pi }{3}$  

$b)y=\cos \left(\frac{x}{3}\right)$  

$\frac{1}{3}\cdot \left(x+T\right)=\frac{1}{3}x+2\pi$  

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}x+2\pi$  

$\frac{1}{3}T=2\pi$  

$T=6\pi$  

 

$c)y=-\mathrm{tg}5x+1$  

$5\left(x+T\right)=5x+\pi$  

$5x+5T=5x+\pi$  

$5T=\pi$  

$T=\frac{\pi }{5}$  

 

$d)y=4\mathrm{ctg}2x$  

$2\left(x+T\right)=2x+\pi$  

$2x+2T=2x+\pi$  

$2T=\pi$  

$T=\frac{\pi }{2}$  

 

$e)y=\frac{1}{2}\sin \left(\pi x\right)$  

$\pi \left(x+T\right)=\pi x+2\pi$  

$\pi x+\pi T=\pi x+2\pi$  

$\pi T=2\pi$  

$T=2$  

 

$f)y=\mathrm{tg}\left(\sqrt{3}x\right)-2$  

$\sqrt{3}\left(x+T\right)=\sqrt{3}x+\pi$  

$\sqrt{3}x+\sqrt{3}T=\sqrt{3}x+\pi$  

$\sqrt{3}T=\pi$  

$T=\frac{\pi }{\sqrt{3}}$  

$T=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$  

 

$g)y=\cos \left(\frac{2x}{\pi }\right)=\cos \left(\frac{2}{\pi }\cdot x\right)$   

$\frac{2}{\pi }\cdot \left(x+T\right)=\frac{2}{\pi }\cdot x+2\pi$  

$\frac{2}{\pi }\cdot x+\frac{2}{\pi }\cdot T=\frac{2}{\pi }\cdot x+2\pi$  

$\frac{2}{\pi }\cdot T=2\pi$  

$T={\pi }^2$  

 

$h)y=\mathrm{ctg}\left(4\pi x\right)$  

$4\pi \left(x+T\right)=4\pi x+\pi$  

$4\pi x+4\pi T=4\pi x+\pi$  

$4\pi T=\pi$  

$T=\frac{1}{4}$