Długość k-tego półokręgu zawierającego się w krzywej oznaczmy w następujący sposób:

$L_k$  

Obwód pierwszego półokręgu wynosi:

$L_1=\frac{1}{2}\cdot O_1=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=\pi r$  

Obwód drugiego półokręgu wynosi:

$L_2=\frac{2}{3}\cdot L_1=\frac{2}{3}\cdot \pi r=\frac{2}{3}\pi r$  

Obwód trzeciego półokręgu wynosi:

$L_3=\frac{2}{3}\cdot L_2=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\pi r={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\pi r$  

Zatem obwód n-tego półokręgu wynosi:

$L_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\pi r$  

Suma takiego ciągu geometrycznego:

$S_n=L_1\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}=\pi r\cdot \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)n}{\frac{1}{3}}=3\pi r\cdot \left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$    

Widać, że:

$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n<1$  

stąd:

$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n<1\mid \cdot 3\pi r$  

$3\pi r\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)<3\pi r$  

$S_n<3\pi r$  

$L_1+L_2+L_3+\dots +L_n<3\pi r$