Klasa
II liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz książkę
Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum, Zbiór zadań
  • 7.119

    Zadanie

  • 7.120

    Zadanie

  • 7.121

    Zadanie

  • 7.122

    Zadanie

  • 7.123

    Zadanie

  • 7.124

    Zadanie

  • 7.125

    Zadanie

  • 7.126

    Zadanie

Długość k-tego półokręgu zawierającego się w krzywej oznaczmy w następujący sposób:

Lk{L}_{{k}} 

 

Obwód pierwszego półokręgu wynosi:

L1=12O1=122πr=πr{L}_{{1}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{O}_{{1}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{2}\pi{r}=\pi{r} 

Obwód drugiego półokręgu wynosi:

L2=23L1=23πr=23πr{L}_{{2}}=\frac{{2}}{{3}}\cdot{L}_{{1}}=\frac{{2}}{{3}}\cdot\pi{r}=\frac{{2}}{{3}}\pi{r} 

Obwód trzeciego półokręgu wynosi:

L3=23L2=2323πr=(23)2πr{L}_{{3}}=\frac{{2}}{{3}}\cdot{L}_{{2}}=\frac{{2}}{{3}}\cdot\frac{{2}}{{3}}\pi{r}={\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{2}}\pi{r} 

Zatem obwód n-tego półokręgu wynosi:

Ln=(23)n1πr{L}_{{n}}={\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{{n}-{1}}}\pi{r} 

 

Suma takiego ciągu geometrycznego:

Sn=L11(23)n123=πr1(23)n13=3πr(1(23)n){S}_{{n}}={L}_{{1}}\cdot\frac{{{1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{n}}}}{{{1}-\frac{{2}}{{3}}}}=\pi{r}\cdot\frac{{{1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}{n}}}{{\frac{{1}}{{3}}}}={3}\pi{r}\cdot{\left({1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{n}}\right)}   

 

Widać, że:

1(23)n<1{1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{n}}<{1} 

stąd:

1(23)n<1   3πr{1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{n}}<{1}\ \ \ {\mid}\cdot{3}\pi{r} 

3πr(1(23)n)<3πr{3}\pi{r}{\left({1}-{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}^{{n}}\right)}<{3}\pi{r} 

Sn<3πr{S}_{{n}}<{3}\pi{r} 

L1+L2+L3++Ln<3πr{L}_{{1}}+{L}_{{2}}+{L}_{{3}}+\ldots+{L}_{{n}}<{3}\pi{r} 

Komentarze