Wiemy, że:

$a_n={172}^o,r=4^o$

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$  

$172=a_1+\left(n-1\right)\cdot 4$  

$172=a_1+4n-4$  

$a_1=176-4n$  

 

Suma miar kątów wewnętrznych w wielokącie wynosi:

${180}^o\left(n-2\right),n\ge 3$  

Zatem:

$S_n=180\cdot \left(n-2\right)$  

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=180\left(n-2\right)$  

$\frac{176-4n+172}{2}\cdot n=180n-360$  

$\frac{348-4n}{2}\cdot n=180n-360$  

$\left(174-2n\right)\cdot n=180n-360$  

$174n-2n^2=180n-360$  

$2n^2+6n-360=0\mid :2$  

$n^2+3n-180=0$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-180\right)=9+720=729$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{729}=27$  

Bierzemy pod uwagę tylko dodatnie n:

$n=\frac{-3+27}{2}=\frac{24}{2}=12$   

Odpowiedź: Wielokąt ma dwanaście boków.