a) Założenia:

$1-x\ne 0\wedge 1+x\ne 0$  

Pozostałe wyrażenia w mianownikach są stale większe od 0.

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

Wyrażenie ma sens liczbowy dla:

$x\in R\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Pomocniczo rozłożymy sobie całe działanie na poszczególne etapy.

$\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{1+x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}-\frac{1-x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}=\frac{1+x-1+x}{1-x^2}=\frac{2x}{1-x^2}$   

teraz:

$\frac{2x}{1-x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2x\left(1+x^2\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}-\frac{2x\left(1-x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1-x^2\right)}=\frac{2x+2x^3-2x+2x^3}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}=\frac{4x^3}{1-x^4}$

zajmijmy się kolejnym ułamkiem:

$\frac{4x^3}{1-x^4}-\frac{4x^3}{1+x^4}=\frac{4x^3\left(1+x^4\right)}{\left(1-x^4\right)\left(1+x^4\right)}-\frac{4x^3\left(1-x^4\right)}{\left(1-x^4\right)\left(1+x^4\right)}=\frac{4x^3+4x^7-4x^3+4x^7}{1-x^8}=\frac{8x^7}{1-x^8}$  

Możemy zobaczyć prawidłowość w otrzymywanych wynikach, gdyż:

$\frac{2x}{1-x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2^2{x}^{4-1}}{1-x^4}$  

$\frac{4x^3}{1-x^4}-\frac{4x^3}{1+x^4}==\frac{2^2\cdot x^{8-1}}{1-x^8}$  

A więc:

$\frac{8x^7}{1-x^8}-\frac{8x^7}{1+x^8}=\frac{2^4\cdot x^{16-1}}{1-x^{16}}=\frac{16x^{15}}{1-x^{16}}$