$\text{a)}W\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-6\right),$  więc  $p\in \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

$q\mid 1,$  więc  $q\in \left\{-1,1\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(1\right)=1+4+1-6=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-1\right).$