Rozłóż na czynniki wielomiany:- Zadanie 5.151: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) W (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2}$

Widać, że $W (- 1) = 0,$ bo:

$W (- 1) = - 1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 1)$ algorytmem Hornera:

	$1$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{3}{2}$
$- 1$		$- 1$	$\frac{3}{2}$	$- \frac{3}{2}$
	$1$	$- \frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2}$ przez dwumian $P (x) = x + 1$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} .$

Wielomian $Q (x)$ jest nierozkładalnym trójmianem kwadratowym, bo $Δ = \frac{9}{4} - 6 < 0 .$

Zatem wielomian $W (x)$ ma następującą postać:

$W (x) = (x + 1) (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2})$

$b) W (x) = \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{2}$

Widać, że $W (1) = 0,$ bo:

$W (1) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x - 1)$ algorytmem Hornera:

	$\frac{1}{4}$	$1$	$\frac{1}{4}$	$- \frac{3}{2}$
$1$		$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{3}{2}$
	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{3}{2}$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{2}$ przez dwumian $P (x) = x - 1$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{4} x + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} (x^{2} + 5 x + 6) .$

Z wzorów Viete'a wiemy, że:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$

Zatem wielomian $W (x)$ ma następującą postać:

$W (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 2) (x + 3)$

$c) W (x) = \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{13}{3} x + 2$

Widać, że $W (- 1) = 0,$ bo:

$W (- 1) = - \frac{2}{3} + 3 - \frac{13}{3} + 2 = - \frac{15}{3} + 5 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 1)$ algorytmem Hornera:

	$\frac{2}{3}$	$3$	$\frac{13}{3}$	$2$
$- 1$		$- \frac{2}{3}$	$- \frac{7}{3}$	$- 2$
	$\frac{2}{3}$	$\frac{7}{3}$	$2$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{13}{3} x + 2$ przez dwumian $P (x) = x + 1$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{7}{3} x + 2 .$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu $Q (x) :$

$Δ = \frac{49}{9} - \frac{16}{3} = \frac{49}{9} - \frac{48}{9} = \frac{1}{9}$

$x = \frac{- \frac{7}{3} - \frac{1}{3}}{2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{- \frac{8}{3}}{\frac{4}{3}} = - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4} = - 2 \lor x = \frac{- \frac{7}{3} + \frac{1}{3}}{2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{- \frac{6}{3}}{\frac{4}{3}} = - \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{4} = - \frac{3}{2}$

Zatem:

$Q (x) = \frac{2}{3} (x + 2) (x + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} (x + 2) (2 x + 3)$

I stąd:

$W (x) = \frac{1}{3} (x + 1) (x + 2) (2 x + 3)$

$d) W (x) = - x^{3} + \frac{5}{4} x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$

Widać, że $W (- 1) = 0,$ bo:

$W (- 1) = 1 + \frac{5}{4} - \frac{7}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 1)$ algorytmem Hornera:

	$- 1$	$\frac{5}{4}$	$\frac{7}{4}$	$- \frac{1}{2}$
$- 1$		$1$	$- \frac{9}{4}$	$\frac{1}{2}$
	$- 1$	$\frac{9}{4}$	$- \frac{1}{2}$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = - x^{3} + \frac{5}{4} x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ przez dwumian $P (x) = x + 1$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = - x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{1}{2} .$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu $Q (x) :$

$Δ = \frac{81}{16} - 2 = \frac{81}{16} - \frac{32}{16} = \frac{49}{16}, Δ = \frac{7}{4}$

$x = \frac{- \frac{9}{4} - \frac{7}{4}}{- 2} = 2 \lor x = \frac{- \frac{9}{4} + \frac{7}{4}}{- 2} = \frac{1}{4}$

Stąd:

$W (x) = - (x + 1) (x - 2) (x - \frac{1}{4})$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.