Wiemy, że dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy,

gdy są to wielomiany tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich

potęgach zmiennej lub są to wielomiany zerowe.

 

Przedstawimy podane wielomiany w najprostszej postaci, a następnie porównamy ze sobą.

$\text{a)}$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(x^2+2x+3\cdot R\left(x\right)\right)=Q\left(x\right)\cdot x^2+2Q\left(x\right)\cdot x+3R\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)$  

$P\left(x\right)=5x^3+S\left(x\right)-15x$  

Porównując współczynniki przy  $x^3,$  otrzymujemy:

$Q\left(x\right)=5x$  

Wtedy:

$W\left(x\right)=5x^3+10x^2+15x\cdot R\left(x\right)$  

Porównując pozostałe współczynniki, otrzymujemy:

$S\left(x\right)=10x^2$  

$R\left(x\right)=-1$  

Odp.  $Q\left(x\right)=5x,S\left(x\right)=10x^2,R\left(x\right)=-1.$  

 

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot \left(2x^3-4x^2+1\right)=2Q\left(x\right)\cdot x^3-4Q\left(x\right)\cdot x^2+Q\left(x\right)$  

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-12x^4+3S\left(x\right)$  

Weźmy  $Q\left(x\right)=3x^2.$  Wtedy:

$W\left(x\right)=6x^5-12x^4+3x^2$  

Porównując pozostałe współczynniki, otrzymujemy:

$S\left(x\right)=x^2$  

$R\left(x\right)=6x^5$  

Odp.  $Q\left(x\right)=3x^2,S\left(x\right)=x^2,R\left(x\right)=6x^5.$