$\text{a)}$  Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta CDE$  mamy:

$\gamma +\delta +{20}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma +\delta ={160}^{\circ }\left(1\right)$  

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta ADF$  mamy:

$\alpha +\delta +{44}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +\delta ={136}^{\circ }\left(2\right)$  

Wiemy, że jeśli czworokąt można wpisać w okrąg, to sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe i wynoszą po  ${180}^{\circ }.$  

Stąd:

$\alpha +\gamma ={180}^{\circ }\left(3\right)$  

$\beta +\delta ={180}^{\circ }\left(4\right)$  

 

Odejmując równanie  $\left(2\right)$  od równania  $\left(1\right)$  otrzymujemy:

$\gamma -\alpha ={24}^{\circ }$  

Dokładamy do powyższego równania równanie  $\left(3\right)$  i rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}\gamma -\alpha ={24}^{\circ }\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$\{\begin{array}{l}2\gamma ={204}^{\circ }\text{/}:2\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={102}^{\circ }\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={102}^{\circ }\\ \alpha +{102}^{\circ }={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={102}^{\circ }\\ \alpha ={78}^{\circ }\end{array}$  

 

Z równania  $\left(1\right)$  wyznaczamy miarę kąta  $\delta :$  

$\gamma +\delta ={160}^{\circ }$  

${102}^{\circ }+\delta ={160}^{\circ }$  

$\delta ={58}^{\circ }$  

Z równania  $\left(4\right)$  wyznaczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\beta +\delta ={180}^{\circ }$  

$\beta +{58}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\beta ={122}^{\circ }$  

Odp. Szukane katy mają miary:  ${78}^{\circ },{122}^{\circ },{102}^{\circ },{58}^{\circ }.$  

 

$\text{b)}$  Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta CDE$  mamy:

$\gamma +\delta +{25}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma +\delta ={155}^{\circ }\left(1\right)$  

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta ADF$  mamy:

$\alpha +\delta +{35}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +\delta ={145}^{\circ }\left(2\right)$  

Wiemy, że jeśli czworokąt można wpisać w okrąg, to sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe i wynoszą po  ${180}^{\circ }.$  

Stąd:

$\alpha +\gamma ={180}^{\circ }\left(3\right)$  

$\beta +\delta ={180}^{\circ }\left(4\right)$  

 

Odejmując równanie  $\left(2\right)$  od równania  $\left(1\right)$  otrzymujemy:

$\gamma -\alpha ={10}^{\circ }$  

Dokładamy do powyższego równania równanie  $\left(3\right)$  i rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}\gamma -\alpha ={10}^{\circ }\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$\{\begin{array}{l}2\gamma ={190}^{\circ }\text{/}:2\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={95}^{\circ }\\ \alpha +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={95}^{\circ }\\ \alpha +{95}^{\circ }={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\gamma ={95}^{\circ }\\ \alpha ={85}^{\circ }\end{array}$  

 

Z równania  $\left(1\right)$  wyznaczamy miarę kąta  $\delta :$  

$\gamma +\delta ={155}^{\circ }$  

${95}^{\circ }+\delta ={155}^{\circ }$  

$\delta ={60}^{\circ }$  

Z równania  $\left(4\right)$  wyznaczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\beta +\delta ={180}^{\circ }$  

$\beta +{60}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\beta ={120}^{\circ }$  

Odp. Szukane katy mają miary:  ${85}^{\circ },{120}^{\circ },{95}^{\circ },{60}^{\circ }.$