$a)$  

Wykonajmy rysunek do zadania:

Musimy pokazać, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne. Oznacza to, że powinniśmy pokazać, że:

$\gamma =\beta \text{ oraz }\delta =\alpha$  

Wiemy, że dla trójkąta ABC mamy zależność:

$\alpha +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }$  

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

Z tego wynika, że możemy zapisać:

$\alpha ={90}^{\circ }-\beta \text{ oraz }\beta ={90}^{\circ }-\alpha$  

Wówczas otrzymujemy, że kąt γ wynosi:

$\gamma +\alpha +{90}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\alpha$  

$\gamma ={90}^{\circ }-\alpha$  

$\gamma ={90}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\beta \right)$  

$\gamma ={90}^{\circ }-{90}^{\circ }+\beta$  

$\gamma =\beta$  

Co należało pokazać. 

Natomiast otrzymujemy, że kąt δ wynosi:

$\delta +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\beta$  

$\delta ={90}^{\circ }-\beta$  

$\delta ={90}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha \right)$  

$\delta ={90}^{\circ }-{90}^{\circ }+\alpha$  

$\delta =\alpha$  

Co należało wykazać. Z tego wynika, że jeżeli γ=β i δ=α to wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne podobne do trójkąta ABC.

 

$b)$  

Trójkąty ABC, ADF i DCF są trójkątami podobnymi.

 

$c)$  

Trójkąty AED, ECD, AGF, GBF i BCF są trójkątami podobnymi.