Matematyka

Matematyka na czasie! 3 (Podręcznik, Nowa Era )

Promień podstawy stożka ma długość... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Promień podstawy stożka ma długość...

11
 Zadanie

12
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

`"a)"` Rysunek pomocniczy:

 

Mamy daną wartość `r` i chcemy wyrazić pole powierzchni bocznej stożka oraz jego objętość jedynie za pomocą

tej wielkości i ewentualnie jakichś liczb.

Zauważmy, że trójkąt prostokątny `ABS,` będący przekrojem osiowym stożka, jest połówką kwadratu o boku

o długości `l,` a średnica podstawy stożka, o długości `2r,` jest przekątną tego kwadratu. Mamy zatem:

`2r=lsqrt2` 

Z powyższej równości wyznaczamy `l:` 

`2r=lsqrt2\ "/":sqrt2` 

`(2r)/sqrt2 *sqrt2/sqrt2=l` 

`l=rsqrt2` 

Wyznaczymy wysokość stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `SOB:` 

`H^2+r^2=l^2` 

`H^2+r^2=(rsqrt2)^2` 

`H^2+r^2=2r^2` 

`H^2=r^2`          

`H=r` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

`P_b=pirl=pi*r*rsqrt2=pir^2sqrt2` 

Obliczamy objętość stożka:

`V=1/3pir^2H=1/3pir^3` 

Odp. Pole powierzchni bocznej stożka wynosi `pir^2sqrt2,` a jego objętość jest równa `1/3pir^3.` 

 

`"b)"`Rysunek pomocniczy:

      

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny, więc średnica podstawy jest równa długości

tworzącej stożka. Mamy zatem:

`l=2r` 

Natomiast wysokość stożka jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego o boku o długości `2r.` 

Ma więc długość:

`H=(2rsqrt3)/2=rsqrt3`  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

`P_b=pirl=pi*r*2r=2pir^2` 

Obliczamy objętość stożka:

`V=1/3pir^2H=1/3pir^2*rsqrt3=sqrt3/3pir^3` 

Odp. Pole powierzchni bocznej stożka wynosi `2pir^2,` a jego objętość jest równa `sqrt3/3pir^3.` 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Walec, stożek, kula
  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 
Udostępnij zadanie