$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$l=10\text{cm}$  

$r=8\text{cm}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $SOB,$  wyznaczamy długość wysokości stożka:

$H^2+r^2=l^2$  

$H^2+8^2={10}^2$  

$H^2+64=100$  

$H^2=36$  

$H=6\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 8^2=64\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 8\cdot 10=80\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=64\pi +80\pi =144\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 64\pi \cdot 6=128\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi $144\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $128\pi {\text{cm}}^3.$        

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$l=10\text{cm}$  

Tworząca stożka tworzy z promieniem podstawy kąt  ${30}^{\circ },$ wobec tego trójkąt $SOB$  jest połówką trójkąta

równobocznego o boku długości  $l.$  Dorysowujemy brakującą część. Otrzymujemy następujące zależności:

$H=\frac{1}{2}l$  

$r=\frac{l\sqrt{3}}{2}$        

Podstawiamy do powyższych równości znaną wartość  $l:$   

$H=5\text{cm}$  

$r=5\sqrt{3}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot {\left(5\sqrt{3}\right)}^2=75\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 5\sqrt{3}\cdot 10=50\pi \sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=75\pi +50\pi \sqrt{3}=\left(75+50\sqrt{3}\right)\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 75\pi \cdot 5=125\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi $\left(75+50\sqrt{3}\right)\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $125\pi {\text{cm}}^3.$       

 

$\text{c)}$  Rysunek pomocniczy:

$l=8\text{cm}$  

Tworząca stożka tworzy z promieniem podstawy kąt  ${45}^{\circ },$ wobec tego trójkąt $SOB$  jest połówką kwadratu

o przekątnej o długości  $l$   $r=H.$ Mamy zatem:

$l=r\sqrt{2}$  

$8=r\sqrt{2}\text{/}:\sqrt{3}$  

$\frac{8\sqrt{2}}{2}=r$  

$r=4\sqrt{2}\text{cm}$      

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot {\left(4\sqrt{2}\right)}^2=32\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 4\sqrt{2}\cdot 8=32\pi \sqrt{2}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=32\pi +32\pi \sqrt{2}=32\left(1+\sqrt{2}\right)\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 32\pi \cdot 4\sqrt{2}=\frac{128\sqrt{2}}{3}\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi $32\left(1+\sqrt{2}\right)\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $\frac{128\sqrt{2}}{3}\pi {\text{cm}}^3.$