Będziemy rozważać kolejne możliwe stopnie wielomianu aż do uzyskania takiego,

który spełnia podane warunki.

---

Zauważmy najpierw, że wielomian stopnia zerowego nie spełnia warunków zadania.

---

$st.f\left(x\right)=1,$ czyli $f\left(x\right)=ax+b$  

Sprawdzamy, czy istnieją takie wartości parametrów $a,b,$ dla których są jednocześnie

spełnione warunki: $f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=4,f\left(2\right)=5.$  

$\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=b\\ f\left(0\right)=0\end{array}\Rightarrow b=0$  

Czyli $f\left(x\right)=ax.$  

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=a\\ f\left(1\right)=4\end{array}\Rightarrow a=4$  

Czyli $f\left(x\right)=4x.$