Przypadek I.

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle ADC\right|={90}^{\circ }$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ABC:

$\left|\sphericalangle BAC\right|+\left|\sphericalangle ACB\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ADC:

$\left|\sphericalangle DAC\right|+\left|\sphericalangle ACD\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Zatem mamy:

$\left|\sphericalangle BAC\right|+\left|\sphericalangle ACB\right|+\left|\sphericalangle DAC\right|+\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }+{90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle DCB\right|={180}^{\circ }$  

Pokazaliśmy, że sumy miar przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta są rówe i wynosi 180^o, zatem na tym czworokącie można opisać okrąg.

 

Przypadek II.

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle ADC\right|={90}^{\circ }$

Zauważmy, że:

Kąt ABC to kąt prosty, zatem jest to kąt wpisany oparty na średnicy AC.

Kąt ADC to kąt prosty, zatem jest to kąt wpisany oparty na średnicy AC.

Zatem punkty A, B, C, D leżą na jednym okręgu (o średnicy AC).

Zatem na czworokącie ABCD można opisać okrąg.