Zauważmy, że kąt APB jest oparty na średnicy AB, zatem ma miarę 90o.

$\left|\sphericalangle APB\right|={90}^{\circ }$  

Zauważmy, że czworokąt ABCD jest prostokątem, zatem:

$\left|\sphericalangle ADP\right|=\left|\sphericalangle PCB\right|=\left|\sphericalangle CBA\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|={90}^{\circ }$     

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle DPA\right|=\alpha$  

 

Kąt APD, APB i BPC tworzą kąt o mierze 180^o, zatem:

$\left|\sphericalangle BPC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ADP:

$\left|\sphericalangle DAP\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie BCP:

$\left|\sphericalangle CBP\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\alpha$  

Zatem:

$\left|\sphericalangle ADP\right|=\left|\sphericalangle BCP\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle DAP\right|=\left|\sphericalangle BPC\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

$\left|\sphericalangle DPA\right|=\left|\sphericalangle CBP\right|=\alpha$  

Zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ADP i BCP są podobne.

 

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle BAP\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|-\left|\sphericalangle DAP\right|={90}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\alpha$  

$\left|\sphericalangle ABP\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|-\left|\sphericalangle CBP\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

$\left|\sphericalangle APB\right|={90}^{\circ }$  

Zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ADP i APB są podobne.