Rysunek pomocniczy:

Założenia:

$\left|AB\right|=\left|CD\right|$  

$\left|AS\right|=\left|SC\right|$  

 

Teza:

Na czworokącie ACBD można opisać okrąg.

 

Dowód:

Skoro |AB|=|CD| oraz |AS|=|SC| to również |BS|=|SD|.

Kąty ASD i CSB to kąty wierzchołkowe, zatem mają równe miary.

Pokazaliśmy, że trójkąt ASD i trójkąt BSC to trójkąty podobne.

Zatem |AD|=|CB| oraz:

$\left|\sphericalangle ADB\right|=\left|\sphericalangle CBD\right|=\alpha \text{poniewaz˙ troˊjkąt SBD to troˊjkąt roˊwnoramienny}$  

$\left|\sphericalangle DAC\right|=\left|\sphericalangle ACB\right|=\beta \text{poniewaz˙ troˊjkąt ACS to troˊjkąt roˊwnoramienny}$  

Zatem:

$\alpha +\beta +\alpha +\beta ={360}^{\circ }$  

$2\alpha +2\beta ={360}^{\circ }$  

$\alpha +\beta ={180}^{\circ }$

Powyższy warunek oznacza, iż suma miar przeciwległych kątów czworokąta ACBD jest równa 180^o, zatem na czworokącie ACBD można opisać okrąg.