Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy jako O - środek tego okręgu.

Kąt pełny wynosi 360^o, zatem:  

$1x+2x+3x+4x={360}^{\circ }$  

$10x={360}^{\circ }\mid :10$  

$x={36}^{\circ }$  

 

Zauważmy, że:

Miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku A jest równa połowie kąta środkowego BOD (który zawiera punkt C), ponieważ kąt BAD i BOD oparte są na tym samym łuku:

$\left|\sphericalangle BAD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(2x+3x\right)=\frac{1}{2}\cdot 5x=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot {36}^{\circ }=5\cdot {18}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku B jest równa połowie kąta środkowego AOC (który zawiera punkt D), ponieważ kąt ABC i AOC oparte są na tym samym łuku:

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(4x+3x\right)=\frac{1}{2}\cdot 7x=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot {36}^{\circ }=7\cdot {18}^{\circ }={126}^{\circ }$  

Miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku C jest równa połowie kąta środkowego BOD (który zawiera punkt A), ponieważ kąt BCD i BOD oparte są na tym samym łuku:

$\left|\sphericalangle BCD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(1x+4x\right)=\frac{1}{2}\cdot 5x=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot {36}^{\circ }=5\cdot {18}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku D jest równa połowie kąta środkowego AOC (który zawiera punkt B), ponieważ kąt ADC i AOC oparte są na tym samym łuku:

$\left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(1x+2x\right)=\frac{1}{2}\cdot 3x=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot {36}^{\circ }=3\cdot {18}^{\circ }={54}^{\circ }$