$\text{a)}{a}_n={\left(n-3\right)}^2$  

Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu:

$a_1={\left(1-3\right)}^2={\left(-2\right)}^2=4$  

$a_2={\left(2-3\right)}^2={\left(-1\right)}^2=1$  

$a_3={\left(3-3\right)}^2=0^2=0$  

$a_4={\left(4-3\right)}^2=1^2=1$  

 

Ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

Wyraz a₃ jest mniejszy od wyrazu a₂. 

Natomiast wyraz a₄ jest większy od wyrazu a₃. 

 

 

$\text{b)}{a}_n=\frac{\sqrt{2}n+1}{5}$ $\text{b)}{a}_n=\frac{\sqrt{2}n+1}{5}$   

Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu:

$a_1=\frac{\sqrt{2}+1}{5}$   

$a_2=\frac{2\sqrt{2}+1}{5}$   

$a_3=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}$   

$a_4=\frac{4\sqrt{2}+1}{5}$   

 

Wyznaczamy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}\left(n+1\right)+1}{5}=\frac{\sqrt{2}n+\sqrt{2}+1}{5}$  

Obliczamy różnicę:

$r=a_{n+1}-a_n=\frac{\sqrt{2}n+\sqrt{2}+1}{5}-\frac{\sqrt{2}n+1}{5}=\frac{\sqrt{2}n+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}n-1}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}$  

Różnica jest stała, więc dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

 

 

$\text{c)}{a}_n=n^3-6n^2+11n-6$    

Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu:

$a_1=1-6+11-6=0$     

$a_2=8-24+22-6=0$   

$a_3=27-54+33-6=0$    

$a_4=64-96+44-6=6$    

 

Wyznaczamy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}={\left(n+1\right)}^3-6{\left(n+1\right)}^2+11\left(n+1\right)-6=n^3+3n^2+3n+1-6\left(n^2+2n+1\right)+11n+11-6=$  

$=n^3+3n^2+3n+1-6n^2-12n-6+11n+5=n^3-3n^2+2n$        

Obliczamy różnicę:

$r=a_{n+1}-a_n=n^3-3n^2+2n-\left(n^3-6n^2+11n-6\right)=n^3-3n^2+2n-n^3+6n^2-11n+6=$  

$=3n^2-9n+6$    

Ciąg nie jest ciągiem arytmetcznym.