a) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Trójkąt jest trójkątem prostokątny o kącie ostrym 45^o. Stąd drugi kąt ostry także ma miarę równą 45^o.

Korzystając z zależności pomiędzy bokami w trójkącie o takich miarach kątów otrzymujemy:

$\left|AB\right|=\left|CB\right|=4\text{cm}$  

$\left|AC\right|=4\sqrt{2}\text{cm}$  

 

Obliczamy pole trójkąta ABC (korzystając z długości przyprostokątnych trójkąta):

$P_{ABC}=\frac{\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|}{2}=\frac{{\sout{4}}^2\cdot 4}{{\sout{2}}^1}=8\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Znając pole trójkąta ABC możemy wyznaczyć długość odcinka MB (odcinek MB także jest wysokością trójkąta ABC, ale poprowadzoną na bok AC):

$P_{ABC}=\frac{\left|AC\right|\cdot \left|MB\right|}{2}$  

$8=\frac{{\sout{4}}^2\sqrt{2}\cdot \left|MB\right|}{{\sout{2}}^1}$  

$8=2\sqrt{2}\cdot \left|MB\right|\mid :2\sqrt{2}$

$\left|MB\right|=\frac{{\sout{8}}^4}{{\sout{2}}^1\sqrt{2}}\stackrel{\text{usuwamy niewymiernosˊcˊ}}{=}\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{{\sout{4}}^2\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

 

Czworokąt KBLO jest kwadratem o bokach długości r.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej w kwadracie otrzymujemy:

$x=r\sqrt{2}$  

 

Zauważmy, że:

$\left|MB\right|=r+x$  

czyli:

$\left|MB\right|=r+r\sqrt{2}$  

$2\sqrt{2}=r\left(1+\sqrt{2}\right)\mid :\left(1+\sqrt{2}\right)$  

$r=\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\stackrel{\text{usuwamy niewymiernosˊcˊ}}{=}\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-4}{1-2}=\frac{2\sqrt{2}-4}{-1}=\underline{\underline{4-2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]}}$   

$\underline{\underline{}}$   

b) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Trójkąt jest trójkątem prostokątny o kącie ostrym 30^o, więc drugi kąt ostry ma miarę równą 60^o.

Korzystając z zależności pomiędzy bokami w trójkącie o miarach kątów 90^o, 60^o i 30^o otrzymujemy:

$\left|AC\right|=2\cdot \left|BC\right|=2\cdot 5=10\left[\text{cm}\right]$   

$\left|AB\right|=\left|BC\right|\sqrt{3}=5\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

Odcinki OM, OL oraz OK są promieniami okręgu poprowadzonymi do punktów styczności (odpowiednio punktów M, L oraz K).

Zauważmy, że czworokąt KBLO jest kwadratem o bokach długości r.  Wówczas:

$\left|CL\right|=5-r$  

Korzystając z tw. o odcinkach stycznych otrzymujemy:

$\left|AK\right|=\left|AM\right|=5\sqrt{3}-r$  

$\left|CM\right|=5-r$    

 

Zauważmy, że:

$\left|AC\right|=\left|AM\right|+\left|CM\right|$  

$10=5\sqrt{3}-r+5-r\mid -5$   

$5=5\sqrt{3}-2r\mid -5\sqrt{3}$  

$5-5\sqrt{3}=-2r\mid :\left(-2\right)$  

$r=\frac{5-5\sqrt{3}}{-2}=\underline{\underline{\frac{5\sqrt{3}-5}{2}\left[\text{cm}\right]}}$