a) Rysunek pomocniczy:

Dany jest sześciokąt foremny o boku długości 1 cm. Sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych o bokach długości 1 cm.

Zauważmy, że średnica okręgu wpisanego jest równa dwóm wysokościom trójkątów równobocznych o bokach długości 1 cm.

Korzystając ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym mamy:

$h=\frac{1\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\text{cm}\right]$  

Stąd średnica okręgu wpisanego (oznaczmy ją jako d, zaznaczona kolorem czerwonym) jes równa:

$d=2h={\sout{2}}^1\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$ $d=2h={\sout{2}}^1\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

$\underline{\underline{}}$  

b) Rysunek pomocniczy:

 

Przyjmijmy oznaczenia, takie jak na rysunku.

Zauważmy, że średnica okręgu wpisanego została oznaczona jako odcinek d (zaznaczony przerywaną linią, kolorem czerwonym).

Także odcinek BE jest średnicą okręgu wpisanego w ośmiokąt (przesuwamy odcinek d w lewo).

Czworokąt BCDE jest trapezem równoramiennym, ponieważ jego ramiona, czyli odcinki CB i DE mają długość równą 1 cm.

Także krótsza podstawa trapezu, czyli odcinek CD, ma długość równą 1 cm.

Aby wyznaczyć długość średnicy okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny musimy wyznaczyć długość odcinka BE.

Kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego, np. kąt DCB ma miare równą 135^o - wynika to ze wzoru na miarę kąta wewnętrznego w n-kącie foremnym:

$\alpha =\frac{{180}^{\circ }\cdot \left(8-2\right)}{8}=\frac{{180}^{\circ }\cdot {\sout{6}}^3}{{\sout{8}}^4}=\frac{{\sout{{180}^{\circ }}}^{{45}^{\circ }}\cdot 3}{{\sout{4}}^1}={135}^{\circ }$  

Jeżeli w trapezie równoramiennym poprowadzimy wysokości CK i DL, to podzielą one kąty 135^o na dwa kąty: 90^o i 45^o.

Stąd trójkąt CKB oraz DEL są równoramienne o miarach kątów 90^o, 45^o i 45^o.

Korzystając z własności trójkąta o takich kątach otrzymujemy:

$h\sqrt{2}=1\mid :\sqrt{2}$  

$h=\frac{1}{\sqrt{2}}\stackrel{\text{usuwamy niewymiernosˊcˊ}}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\text{cm}\right]$   

W trójkącie tym odcinki h oraz x mają równą długość:

$x=h=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{cm}$  

 

Wyznaczamy długość średnicy okręgu wpisanego:

$\left|BE\right|=\left|BK\right|+\left|KL\right|+\left|LE\right|=x+1+x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}=1+\frac{{\sout{2}}^1\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=1+\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$