W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.
Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.
Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$
Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.
$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$
W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:
$r={-5}/{12} - (-1/6)$
$r={-5}/{12}+1/6$
$r={-5}/{12}+2/{12}$
$r={-3}/{12}={-1}/4$
Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:
$a_n=a_1+(n-1)×r$
dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$
Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).
$a_5=a_1+4×r$
$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $
Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:
$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy
$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$