Matematyka

Matematyka na czasie! 2 (Zbiór zadań, Nowa Era )

Średnią pewnego okręgu jest wysokość trójkąta ... 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Przyjmijmy oznaczenia jak rysunku poniżej: 

Przyjmijmy, że bok trójkąta równobocznego ABC ma długość a. 
`|AB|=|BC|=|AC|=a` 


Wysokość trójkąta ABC (h) ma taką samą długość jak średnica (d) zielonego okręgu.
`|CD|=h=d=(asqrt{3})/2` 

Obliczamy, jaką długość ma promień tego okręgu.
`|SC|=|SD|=r=1/2d=1/2*(asqrt{3})/2=(asqrt{3})/4`    

Obliczamy, ile wynosi długość zielonego okręgu. 
`l_z=2pi*r=strike2^1pi*(asqrt{3})/strike4^2=(asqrt{3}pi)/2` 


Środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz środek okręgu opisanego na tym trójkącie pokrywają się. Jest to punkt O. 

Promień okręgu wpisanego (niebieski okrąg) w trójkąt ABC stanowi 1/3 jego wysokości, czyli: 
`r_n=1/3*(asqrt{3})/2=(asqrt{3})/6`   

Obliczamy, ile wynosi długość niebieskiego okręgu. 
`l_n=2pi*r_n=strike2^1pi*(asqrt{3})/strike6^3=(asqrt{3}pi)/3` 


Promień okręgu opisanego (czerwony okrąg) na trójkącie ABC stanowi 2/3 jego wysokości, czyli:  
`r_c=strike2/3*(asqrt{3})/strike2=(asqrt{3})/3` 

Obliczamy, ile wynosi długość czerwonego okręgu. 
`l_c=2pi*r_c=2pi*(asqrt{3})/3=(2asqrt{3}pi)/3` 


Sprawdzamy, czy długość zielonego okręgu jest równa średniej arytmetycznej długości niebieskiego i czerwonego okręgu. 

`l_z \ stackrel(?)= \ (l_n+l_c)/2` 
`L=l_z=(asqrt{3}pi)/2` 
`P=(l_n+l_c)/2=((asqrt{3}pi)/3+(2asqrt{3})/3)/2=((strike(3)asqrt{3}pi)/strike(3))/2=(asqrt{3}pi)/2` 
`L=P` 

Zatem:  
`l_z \ = \ (l_n+l_c)/2`     

Długość zielonego okręgu jest równa średniej arytmetycznej długości niebieskiego i czerwonego okręgu.

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej;

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej;

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.
 

Przykład: Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.
Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1
Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Przykład: Porównajmy ułamki 0,8 i 0,81.
Zapisujemy ułamki jeden pod drugim, tak aby zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem. Ponadto dopisujemy 0 w ułamku 0,8.

porownanie2

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 0<1, zatem ułamek 0,81 jest większy od 0,8. Zatem 0,81>0,8.

Zobacz także
Udostępnij zadanie