Oznaczmy:

r - promień mniejszego okręgu

3r - promień większego okręgu

 

Na większym trójkącie opisany jest większy okrąg. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wyraża się wzorem:

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

Wyznaczmy długość boku większego trójkąta równobocznego (do wzoru na długość promienia okręgu opisanego w miejsce R wstawiamy 3r):

$3r=\frac{a\sqrt{3}}{3}\mid \cdot 3$  

$9r=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{9r}{\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$a=\frac{9r}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{{\sout{9}}^{3}r\sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}=3\sqrt{3}r$    

Obliczamy pole większego trójkąta równobocznego o boku długości 3√3r:

$P_{wt}=\frac{{\left(3\sqrt{3}r\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27r^2\sqrt{3}}{4}$      

 

 

Na mniejszym trójkącie opisany jest mniejszy okrąg. 

Koprzystając z powyzszego wzoru wyznaczmy długość boku mniejszego trójkąta równobocznego (do wzoru na długość promienia okręgu opisanego w miejsce R wstawiamy r):

$r=\frac{a\sqrt{3}}{3}\mid \cdot 3$  

$3r=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{3r}{\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$a=\frac{3r}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{{\sout{3}}^{1}r\sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}=\sqrt{3}r$     

Obliczamy pole mniejszego trójkąta równobocznego o boku długości √3r:

$P_{mt}=\frac{{\left(\sqrt{3}r\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}$       

 

Obliczamy, ile razy pole większego trójkąta jest większe od pola mniejszego trójkąta:

$\frac{P_{wt}}{P_{mt}}=\frac{\frac{27r^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{27\sout{r^2\sqrt{3}}}{{\sout{4}}^1}\cdot \frac{{\sout{4}}^1}{3\sout{r^2\sqrt{3}}}=\frac{27}{3}=9$  

 

Odp: Pole większego trójkąta jest 9 razy większe od pola mniejszego trójkąta.