$a)$  

Sprawdźmy, dla jakich liczb wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0. Tak otrzymane liczby podzielą zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać nierówność. 

$x+1=0\text{dla}x=-1$  

$x-1=0\text{dla}x=1$  

 

Nad wyrażeniami znadującymi się pod wartościami bezwzględnymi zapiszemy +, jeśli wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości nieujemne (większe lub równe 0) lub -, gdy wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

 

  $1)x\in \left(-\infty ;-1\right)$  

$\left|\stackrel{{}^{\left(-\right)}}{x+1}\right|=3\left|\stackrel{{}^{\left(-\right)}}{x-1}\right|$  

$-\left(x+1\right)=-3\left(x-1\right)$  

$-x-1=-3x+3\mid +3x$  

$2x-1=3\mid +1$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2$  

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, dlatego odrzucamy je.  

 

$2)x\in ⟨-1;1)$  

$\left|\stackrel{{}^{\left(+\right)}}{x+1}\right|=3\left|\stackrel{{}^{\left(-\right)}}{x-1}\right|$  

$x+1=-3\left(x-1\right)$  

$x+1=-3x+3\mid +3x$  

$4x+1=3\mid -1$  

$4x=2\mid :4$  

$x=\frac{2}{4}$  

$x=\frac{1}{2}$  

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

 

$3)x\in ⟨1;+\infty )$  

$\left|\stackrel{{}^{\left(+\right)}}{x+1}\right|=3\left|\stackrel{{}^{\left(+\right)}}{x-1}\right|$  

$x+1=3\left(x-1\right)$  

$x+1=3x-3\mid -3x$  

$-2x+1=-3\mid -1$  

$-2x=-4\mid :\left(-2\right)$  

$x=2$  

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x=\frac{1}{2}\text{lub}x=2}}$  

 

 

$\underline{}$  

 

 

$b)$  

Sprawdźmy, dla jakiej wartości x pierwsza wartość bezwzględna jest równa 0:

$\sqrt{3}+2x=0\mid -\sqrt{3}$  

$2x=-\sqrt{3}\mid :2$  

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

 

Sprawdźmy, dla jakiej wartości x druga wartość bezwzględna jest równa 0:

$1-\sqrt{3}x=0\mid -1$  

$-\sqrt{3}x=-1\mid :\left(-\sqrt{3}\right)$