2017-06-16T17:50:07+02:00
Trójkąt ABC ma kąty o miarach 40°, 60°,80°.
4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
Rozpatrzmy sześć możliwości:
I możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 80°, kąt przy wierzchołku C-60°, a kąt przy wierzchołku A-40°.
Okrąg można opisać na czworokącie(czworokąt można wpisać w okrąg), gdy suma miar przeciwległych kątów jest równa i wynosi 180°. Stąd można napisać równości:
`gamma+80^o=180^o \ \ \ |-80^o`
`gamma=100^o`
`beta+40^o=alpha+60^o \ \ |-40^o`
`ul(beta=alpha+20^o)`
Suma miar kątów w każdym czworokącie wynosi 180°, stąd można napisać równość:
`gamma+80^o +beta+40^o +alpha+60^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=100^o)=> \ \ \ 100^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`280^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-280^o`
`ul(beta+alpha=80^o)`
Z wyprowadzonych równań budujemy układ równań:
`{(beta=alpha+20^o),(beta+alpha=80^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(alpha+20^o +alpha=80^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(2alpha+20^o=80^o \ \ \ |-20^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(2alpha=80^o \ \ |:2):}`
`{(beta=alpha+20^o),(alpha=30^o):}`
`{(beta=30^o +20^o=50^o),(alpha=30^o):}`
`ulul(gamma=100^o, \ \ beta=50^o, \ \ alpha=30^o)`
II możliwość
I możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 80°, kąt przy wierzchołku C-60°, a kąt przy wierzchołku A-40°.
`gamma+80^o=180^o \ \ \ |-80^o`
`gamma=100^o`
`beta+60^o=alpha+40^o \ \ |-60^o`
`ul(beta=alpha-20^o)`
`gamma+80^o +beta+40^o +alpha+60^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=100^o)=> \ \ \ 100^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`280^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-280^o`
`ul(beta+alpha=80^o)`
`{(beta=alpha-20^o),(beta+alpha=80^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(alpha-20^o +alpha=80^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(2alpha-20^o=80^o \ \ \ \ \ |+20^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(2alpha=100^o \ \ |:2):}`
`{(beta=alpha-20^o),(alpha=50^o):}`
`{(beta=50^o-20^o=30^o),(alpha=50^o):}`
`ulul(gamma=100^o, \ \ beta=30^o, \ \ alpha=50^o)`
III możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 60°, kąt przy wierzchołku C-80°, a kąt przy wierzchołku A-40°.
`gamma+60^o=180^o \ \ \ \ \ |-60^o`
`gamma=120^o`
`beta+40^o=alpha+80^o \ \ \ |-40^o`
`ul(beta=alpha+40^o)`
`gamma+60^o +beta+80^o +alpha+40^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=120^o)=> \ \ \ 120^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`300^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-300^o`
`ul(beta+alpha=60^o)`
`{(beta=alpha+40^o),(beta+alpha=60^o):}`
`{(beta=alpha+40^o),(alpha+40^o +alpha=60^o):}`
` {(beta=alpha+40^o),(2alpha+40^o=60^o):}`
`{(beta=alpha+40^o),(2alpha=20^o \ \ \ |:2):}`
`{(beta=10^o +40^o=50^o),(alpha=10^o):}`
`ulul(alpha=10^o, \ beta=50^o, \ gamma=120^o)`
IV możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 60°, kąt przy wierzchołku C-40°, a kąt przy wierzchołku A-80°.
`gamma+60^o=180^o \ \ \ \ \ |-60^o`
`gamma=120^o`
`beta+80^o=alpha+40^o \ \ \ |-80^o`
`ul(beta=alpha-40^o)`
`gamma+60^o +beta+80^o +alpha+40^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=120^o)=> \ \ \ 120^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`300^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-300^o`
`ul(beta+alpha=60^o)`
`{(beta=alpha-40^o),(beta+alpha=60^o):}`
`{(beta=alpha-40^o),(alpha-40^o +alpha=60^o):}`
`{(beta=alpha-40^o),(2alpha-40^o=60^o \ \ \ |+40^o):}`
`{(beta=alpha-40^o),(2alpha=100^o \ \ |:2):}`
`{(beta=50^o-40^o=10^o),(alpha=50^o):}`
`ulul(alpha=50^o, \ \ beta=10^o, \ \ gamma=120^o)`
V możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 40°, kąt przy wierzchołku C-80°, a kąt przy wierzchołku A-60°.
`gamma+40^o=180^o \ \ |-40^o`
`gamma=140^o`
`beta+80^o=alpha+60^o \ \ \ \ |-80^o`
`ul(beta=alpha-20^o)`
`gamma+40^o +beta+80^o +alpha+60^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=140^o)=> \ \ \ 140^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`320^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-320^o`
`ul(beta+alpha=40^o)`
`{(beta=alpha-20^o),(beta+alpha=40^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(alpha-20^o +alpha=40^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(2alpha-20^o=40^o \ \ |+20^o):}`
`{(beta=alpha-20^o),(2alpha=60^o \ \ |:2):}`
`{(beta=alpha-20^o),(alpha=30^o):}`
`{(beta=30^o-20^o=10^o),(alpha=30^o):}`
`ulul(alpha=30^o, \ beta=10^o, \ gamma=140^o)`
VI możliwość
Kąt przy wierzchołku B ma miarę 40°, kąt przy wierzchołku C-60°, a kąt przy wierzchołku A-80°.
`gamma+40^o=180^o \ \ |-40^o`
`gamma=140^o`
`beta+60^o=alpha+80^o \ \ \ \ |-60^o`
`ul(beta=alpha+20^o)`
`gamma+40^o +beta+60^o +alpha+80^o=360^o`
`gamma+180^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ stackrel(gamma=140^o)=> \ \ \ 140^o +180^o +beta+alpha=360^o `
`320^o +beta+alpha=360^o \ \ \ \ \ \ |-320^o`
`ul(beta+alpha=40^o)`
`{(beta=alpha+20^o),(beta+alpha=40^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(alpha+20^o +alpha=40^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(2alpha+20^o=40^o \ \ \ |-20^o):}`
`{(beta=alpha+20^o),(2alpha=20^o \ \ |:2):}`
`{(beta=alpha+20^o),(alpha=10^o):}`
`{(beta=10^o +20^o=30^o),(alpha=10^o):}`
`ulul(alpha=10^o, \ \ beta=30^o, \ \ gamma=140^o)`
DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001 (Zbiór zadań)Autorzy: Anna Bazyluk, Anna Dubiecka, Barbara Dubiecka-Kruk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
2016
Autor rozwiązania
Wiedza
Odejmowanie ułamków zwykłych
-
Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.
Przykład:
- $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$
Uwaga
Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę. -
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.
Przykład:
- $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
- $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
-
Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.
-
I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.
Przykład:
$$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$ -
II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.
Przykład:
$$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
-
-
Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.
-
I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.
Przykład:
$$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$ -
II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.
Przykład:
$$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
-
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły
Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.
Przykłady:
-
$$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,
-
$$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
... i0razy podziękowaliście
© 2018 Odrabiamy.pl