Rozpatrzmy sześć możliwości:

I możliwość

Kąt przy wierzchołku B ma miarę 80°, kąt przy wierzchołku C-60°, a kąt przy wierzchołku A-40°.

Okrąg można opisać na czworokącie(czworokąt można wpisać w okrąg), gdy suma miar przeciwległych kątów jest równa i wynosi 180°. Stąd można napisać równości:

$\gamma +{80}^o={180}^o\mid -{80}^o$

$\gamma ={100}^o$  

$\beta +{40}^o=\alpha +{60}^o\mid -{40}^o$

$\underline{\beta =\alpha +{20}^o}$

Suma miar kątów w każdym czworokącie wynosi 180°, stąd można napisać równość:

$\gamma +{80}^o+\beta +{40}^o+\alpha +{60}^o={360}^o$  

$\gamma +{180}^o+\beta +\alpha ={360}^o\stackrel{\gamma ={100}^o}{\Rightarrow }{100}^o+{180}^o+\beta +\alpha ={360}^o$  

${280}^o+\beta +\alpha ={360}^o\mid -{280}^o$    

$\underline{\beta +\alpha ={80}^o}$  

Z wyprowadzonych równań budujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}\beta =\alpha +{20}^o\\ \beta +\alpha ={80}^o\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\beta =\alpha +{20}^o\\ \alpha +{20}^o+\alpha ={80}^o\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\beta =\alpha +{20}^o\\ 2\alpha +{20}^o={80}^o\mid -{20}^o\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}\beta =\alpha +{20}^o\\ 2\alpha ={80}^o\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\beta =\alpha +{20}^o\\ \alpha ={30}^o\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\beta ={30}^o+{20}^o={50}^o\\ \alpha ={30}^o\end{array}$  

 

$\underline{\underline{\gamma ={100}^o,\beta ={50}^o,\alpha ={30}^o}}$  

II możliwość

I możliwość

Kąt przy wierzchołku B ma miarę 80°, kąt przy wierzchołku C-60°, a kąt przy wierzchołku A-40°.

$\gamma +{80}^o={180}^o\mid -{80}^o$

$\gamma ={100}^o$  

$\beta +{60}^o=\alpha +{40}^o\mid -{60}^o$