Matematyka

Podaj ostatnią cyfrę liczby, będącej wynikiem 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podaj ostatnią cyfrę liczby, będącej wynikiem

16
 Zadanie
17
 Zadanie
18
 Zadanie
19
 Zadanie

20
 Zadanie

21
 Zadanie

 

Przeanalizujmy potęgi liczb o cyfrze jedności 1.

 

 

 

 

 

Każda potęga liczby o cyfrze jedności 1, a więc również dwudziesta potęga liczby 61 i 31, ma cyfrę jedności 1. Suma dwóch liczb o cyfrze jedności 1 ma cyfrę jedności 2.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrę jedności mają poszczególne składniki powyższej sumy. Przeanalizujmy kolejne potęgi liczby 2.

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 2 powtarzają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 2, 4, 8 i 6.

 

Gdy podniesiemy liczbę 2 do potęgi 20, przejdziemy 5 pełnych cykli i zatrzymamy się na ostatniej z wymienionych cyfr, ponieważ 20:4=5. Ostatnią cyfrą liczby 220 jest zatem cyfra 6.

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 3.

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 3 powtarzają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 3, 9, 7 i 1.

Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 25, przejdziemy cztery pełne cykle i zatrzymamy się na pierwszej z wymienionych cyfr z cyklu, ponieważ 25:4=6 r 1.

 

Ostatnią cyfrą liczby 325 jest 3.

Przeanalizujmy kolejne potęgi liczby 4.

 

Zauważmy, że nieparzyste potęgi liczby 4 mają cyfrę jedności 4, a parzyste- cyfrę jedności 6, stąd ostatnia cyfra liczby 430 to cyfra 6

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 5.

 

Każda potęga liczby 5 kończy się cyfrą 5, stąd liczba 535 również kończy się cyfrą 5.

 

 

 

Liczba będąca wynikiem powyższego działania ma cyfrę jedności 1. 

 

Każda potęga liczby 6 kończy się cyfrą 6, stąd liczba 630 również kończy się cyfrą 6. Każda potęga liczby 5 kończy się cyfrą 5, stą liczba 520 również kończy się cyfrą 5. Jeśli od liczby o cyfrze jedności 6 odejmiemy liczbę o cyfrze jedności 5, otrzymamy liczbę o cyfrze jedności 1. 

 

Każda potęga liczby 5 kończy się cyfrą 5, stąd liczba 540 również kończy się cyfrą 5.  Nieparzyste potęgi liczby 4 mają cyfrę jedności 4, a parzyste- cyfrę jedności 6, stąd ostatnia cyfra liczby 430 to cyfra 6.  Jeśli od liczby o cyfrze jedności 5 odejmiemy liczbę o cyfrze jedności 6, otrzymamy liczbę o cyfrze jedności 9. 

 

 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Anna Bazyluk, Anna Dubiecka, Barbara Dubiecka-Kruk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Monika

22971

Nauczyciel

Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.

  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.


Największy wspólny dzielnik 
dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn wspólnych czynników (zaznaczonych czynników).  

Przykład:

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom