Przekształćmy wyrażenia:

$\left(n+1\right)\sqrt{n}=\sqrt{{\left(n+1\right)}^2}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{{\left(n+1\right)}^2\cdot n}=\sqrt{\left(n^2+2n+1\right)\cdot n}=\sqrt{n^3+2n^2+n}$    

$n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2}\cdot \sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\cdot \left(n+1\right)}=\sqrt{n^3+n^2}$ $n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2}\cdot \sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\cdot \left(n+1\right)}=\sqrt{n^3+n^2}$  

 

$\left(n+1\right)\sqrt{n}\stackrel{?}{\square }n\sqrt{n+1}$  

$\sqrt{n^3+2n^2+n}\stackrel{?}{\square }\sqrt{n^3+n^2}$  

Ten pierwiastek będzie większy, którego liczba podpierwiastkowa będzie większa (pamietamy, że n≥1, n∈N), więc:

$n^3+2n^2+n\stackrel{?}{\square }{n}^3+n^2$  

$n^3+2n^2+n>n^3+n^2$  

Stąd:

$\left(n+1\right)\sqrt{n}>n\sqrt{n+1}$