Żeby mówić o dwóch rozwiązaniach musimy być pewni, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, zatem:

$m\ne 0$  

 

Żeby istniały dwa rozwiązania to:

$1)\Delta >0$  

 

 

A więc:

$1)\Delta >0$  

$n^2-4mp>0$  

$n^2>4mp$  

 

Ze wzorów Viète'a

$x_1+x_2=-\frac{n}{m}$  

Jedno z miejsc zerowych jest trzy razy większe od drugiego:

$x_1+3x_1=-\frac{n}{m}$  

$4x_1=-\frac{n}{m}$  

$x_1=-\frac{n}{4m}$  

Zatem:

$x_2=-\frac{3n}{4m}$  

 

$m\left(x+\frac{n}{4m}\right)\left(x+\frac{3n}{4m}\right)=0$  

 

$m\left(x^2+\frac{3n}{4m}x+\frac{n}{4m}x+\frac{3n^2}{16m^2}\right)=0$  

  $m\left(x^2+\frac{4n}{4m}x+\frac{3n^2}{16m^2}\right)=0$  

$m{x}^2+nx+\frac{3n^2}{16m}=0$  

Stąd:

$p=\frac{3n^2}{16m}$  

$3n^2=16mp$  

 

A więc:

$m\ne 0$  

$n^2>4mp$  

$3n^2=16mp$