Jeśli wiesz, że ...- Zadanie 8: Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

$sin^{2} 15^{2} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + (\frac{2 ( 3 + 1 )}{4})^{2} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{2 ^{1} ( 3 + 1 ) ^{2}}{16 ^{8}} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{3 ^{2} + 2 3 + 1}{8} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{3 + 2 3 + 1}{8} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{4 + 2 3}{8} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{2 ^{1} ( 2 + 3 )}{2 ^{1} \cdot 4} = 1$

$sin^{2} 15^{\circ} + \frac{2 + 3}{4} = 1 ∣ - \frac{2 + 3}{4}$

$sin^{2} 15^{\circ} = 1 - \frac{2 + 3}{4}$

$sin^{2} 15^{\circ} = \frac{4 - 2 - 3}{4}$

$sin^{2} 15^{\circ} = \frac{2 - 3}{4}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 - 3}{4}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 - 3}{2}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 2 - 3}{2 \cdot 2}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 \cdot 4 - 2 3}{4}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 \cdot ( 3 - 1 ) ^{2}}{4}$

$sin 15^{\circ} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{4}$

b) Zauważmy, że:

$t g 15^{\circ} = \frac{sin 15 ^{\circ}}{cos 15 ^{\circ}} = \frac{\frac{2 ( 3 - 1 )}{4}}{\frac{2 ( 3 + 1 )}{4}} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{4} \cdot \frac{4}{2 ( 3 + 1 )} = \frac{3 - 1}{3 + 1} \cdot \frac{3 - 1}{3 - 1} =$

$= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{3 ^{1} - 1 ^{2}} = \frac{3 ^{2} - 2 3 + 1}{3 - 1} = \frac{3 - 2 3 + 1}{2} = \frac{4 - 2 3}{2} = \frac{2 \cdot ( 2 - 3 )}{2} = 2 - 3$

c) Zauważmy, że:

$t g 75^{\circ} = t g (90^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{cos 15 ^{\circ}}{sin 15 ^{\circ}} = \frac{\frac{2 ( 3 + 1 )}{4}}{\frac{2 ( 3 - 1 )}{4}} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{4} \cdot \frac{4}{2 ( 3 - 1 )} =$

$= \frac{3 + 1}{3 - 1} \cdot \frac{3 + 1}{3 + 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{3 ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{3 ^{1} + 2 3 + 1}{3 - 1} = \frac{3 + 2 3 + 1}{2} =$

$= \frac{4 + 2 3}{2} = \frac{2 \cdot ( 2 + 3 )}{2} = 2 + 3$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.