Założenia:

Długości boków muszą być dodatnie:

$x>0$  

$2x-4>0\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>2$  

$2x-8>0\Rightarrow 2x>8\Rightarrow x>4$  

A więc:

$x\in \left(4,\infty \right)$  

 

Przekątna prostokąta musi być najdłuższym odcinkiem, a więc:

$2x-4>x$  

$x>4$    

A więc dziedziną funkcji będzie:

$D=\left(4,\infty \right)$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(2x-4\right)}^2=x^2+{\left(2x-8\right)}^2$

$4x^2-16x+16=x^2+4x^2-32x+64$  

$x^2-16x+48=0$  

$\Delta ={\left(-16\right)}^2-4\cdot 1\cdot 48=256-192=64$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$

$x_1=\frac{-\left(-16\right)-8}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$x_2=\frac{-\left(-16\right)+8}{2}=\frac{24}{2}=12$  

$\left(x-4\right)\left(x-12\right)=0$  

$x_1=4\vee x_2=12$     

$x_1\notin D$  

 

$x_2=12$  

 

Obwód prostokąta:

$Obw=2\cdot x+2\cdot \left(2x-8\right)=2x+4x-16=6x-16$    

Pole prostokąta:

$P=x\cdot \left(2x-8\right)=2x^2-8x$  

 

$\text{Dla}x=12$  

$Obw=6\cdot 12-16=72-16=56$   

$P=2\cdot {12}^2-8\cdot 12=2\cdot 144-96=288-96=192$