Wiemy, że funkcja ma jedno miejsce zerowe a więc:

$q=\frac{-\Delta }{4a}\stackrel{\Delta =0}{=}0$  

 

A więc postać kanoniczna funkcji

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

wygląda następująco:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+0=a{\left(x-p\right)}^2$   

Wiemy również, że punkty A i B należą do wykresu funkcji

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=2\\ f\left(4\right)=\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a{\left(1-p\right)}^2=2\\ a{\left(4-p\right)}^2=\frac{1}{2}\mid \cdot 4\end{array}$ $\{\begin{array}{l}a{\left(1-p\right)}^2=2\\ a{\left(4-p\right)}^2=\frac{1}{2}\mid \cdot 4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a{\left(1-p\right)}^2=2\\ 4a{\left(4-p\right)}^2=2\end{array}$  

A więc

$a{\left(1-p\right)}^2=4a{\left(4-p\right)}^2\mid :a,a\ne 0$   

${\left(1-p\right)}^2=4{\left(4-p\right)}^2$  

$1-2p+p^2=4\cdot \left(16-8p+p^2\right)$  

$1-2p+p^2=64-32p+4p^2$  

$3p^2-30p+63=0\mid :3$  

$p^2-10p+21=0$  

$\Delta =100-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$  

$p_1=\frac{-\left(-10\right)-4}{2}=\frac{10-4}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$p_2=\frac{-\left(-10\right)+4}{2}=\frac{14}{2}=7$  

$\{\begin{array}{l}p=3\\ a{\left(1-p\right)}^2=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}p=7\\ a{\left(1-p\right)}^2=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=3\\ 4a=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}p=7\\ 36a=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=3\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}p=7\\ a=\frac{1}{18}\end{array}$  

$y_1=\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2,y_2=\frac{1}{18}{\left(x-7\right)}^2$