1. 

$y=a{x}^2+bx+c$  

Współrzędne wierzchołka to W=(p, q). 

 

Przypadek I.

Ustalmy współczynniki a i b. Gdy zmieniamy współczynnik c to zmienia się również q. Na przykład:

Gdy do c dodamy dowolną liczbę rzeczywistą k  to otrzymamy: 

W=(p, q+k)

 

Przypadek II.

Ustalmy współczynniki a i c.

Gdy zmieniamy współczynnik b to zmienia się również p i q. Na przykład: 

Gdy do b dodamy dowolną liczbę rzeczywistą k to otrzymamy:

• pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa     $p=-\frac{b+k}{2a}$    
  
  
• druga współrzędna wierzchołka jest równa  $q=\frac{-{\left(b+k\right)}^2+4ac}{4a}$  

 

Przypadek III.

Ustalmy współczynniki b i c.

Zmiana współczynnik a nie wpływa na współrzędne wierzchołka. 

---

2. 

a) Szukamy takich parabol, których wierzchołki należą do prostej y=x, czyli wierzchołek jest postaci W=(p,p).

Otrzymujemy:

$y=a{\left(x-p\right)}^2+p$  

 

b) Szukamy takich parabol, których wierzchołki należą do prostej y=|x|, czyli wierzchołek jest postaci W=(p, |p|).

Otrzymujemy:

$y=a{\left(x-p\right)}^2+\left|p\right|$  

---

3. Pewnie wierzchołki rodziny parabol mogą tworzyć inne parabole, na przykład:

$f\left(x\right)=a{\left(x-m\right)}^2+m^2=x^2-2mx+3m^2$      

$m\in \mathbb{R}$  

$W=\left(m,m^2\right)$  

---

4.

$f\left(x\right)=a{\left(x-m\right)}^2+\frac{1}{m}$  

$m\in \mathbb{R}$  

Wierzchołki parabol określonych powyższym wzorem tworzą zbiór opisany funkcją   $y=\frac{1}{x}.$