W każdym z czterech rzutów możemy otrzymać jedną z sześciu liczb. 

$\overline{\overline{\Omega }}=6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^4$  

---

$\text{a)}$  

$A-\text{iloczyn oczek będzie roˊwny 120}$  

Rozłóżmy liczbę 120 na czynniki pierwsze:

$120=2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$  

 

Mamy do dyspozycji cztery liczby wybrane spośród 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zapiszmy liczbę 120 w taki sposób, aby była iloczynem czterech takich liczb. 

$120=4\cdot 2\cdot 3\cdot 5$  

$120=1\cdot 4\cdot 5\cdot 6$  

$120=2\cdot 2\cdot 6\cdot 5$  

 

W pierwszym i drugim przypadku użyto czterech różnych liczb - możemy je dowolnie permutować. W trzecim przypadku użyto czterech liczb, z których dwie się powtarzają (cyfra 2) - możemy je dowolnie permutować, ale ilość permutacji zbioru 4-elementowego musimy podzielić przez 2! - zamiana ze sobą dwójek nic nie zmienia. 

$\overline{\overline{A}}=4!+4!+\frac{4!}{2!}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+\frac{1\cdot \sout{2}\cdot 3\cdot 4}{1\cdot \sout{2}}=24+24+12=60$   

$P\left(A\right)=\frac{60}{6^4}=\frac{10}{6^3}=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$  

---

$\text{b)}$  

$B-\text{iloczyn oczek będzie podzielny przez 3}$  

 

Iloczyn oczek będzie podzielny przez 3, jeśli co najmniej jedna liczba będzie dzielić się przez 3. Zdarzeniu B sprzyja wiele zdarzeń elementarnych, dlatego rozpatrzymy zdarzenie przeciwne. 

$B{}^{\prime }-\text{iloczyn oczek nie dzieli się przez 3}$  

 

Jeśli iloczyn oczek nie dzieli się przez 3, to każda z czterech liczb nie może dzielić się przez 3. Na każdym z czterech miejsc możemy więc postawić jedną z czterech liczb - 1, 2, 4 lub 5. 

$\overline{\overline{B{}^{\prime }}}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^4$  

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{4^4}{6^4}={\left(\frac{4}{6}\right)}^4={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$  

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

$P\left(B\right)=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}$  

---

$\text{c)}$  

$C-\text{wypadną dwie jedynki i dwie szoˊstki}$  

 

Możemy obliczyć na 2 sposoby. Pierwszy sposób jest analogiczny, jak poprzednio - permutujemy zbiór 4-elementowy, ale ilość permutacji musimy podzielić przez 2! (zamiana jedynek nic nie zmienia) oraz przez 2! (zamiana szóstek nic nie zmienia).

$\overline{\overline{C}}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \sout{4}}{1\cdot \sout{2}\cdot 1\cdot \sout{2}}=6$  

 

Możemy także wybrać 2 z 4 miejsc dla jedynki, pozostałe miejsca uzupełniamy szóstkami. 

$\overline{\overline{C}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \sout{4}}{1\cdot \sout{2}\cdot 1\cdot \sout{2}}=6$  

$P\left(C\right)=\frac{6}{6^4}=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}$  

---

$\text{d)}$  

$D-\text{wypadną dokładnie dwie roˊz˙ne liczby oczek}$  

Mamy dwie możliwości - obie liczby występują dwa razy lub pierwsza liczba występuje raz, a druga trzy razy lub pierwsza liczba występuje trzy razy a druga raz. 

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 2 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{\sout{4!}\cdot 5\cdot {\sout{6}}^3}{1\cdot \sout{2}\cdot \sout{4!}}\cdot \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \sout{4}}{1\cdot \sout{2}\cdot 1\cdot \sout{2}}=15\cdot 6=90$   

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 1 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \frac{4!}{1!\cdot 3!}=\frac{\sout{4!}\cdot 5\cdot {\sout{6}}^3}{1\cdot \sout{2}\cdot \sout{4!}}\cdot \frac{\sout{3!}\cdot 4}{1\cdot \sout{3!}}=15\cdot 4=60$   

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 3 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \frac{4!}{3!\cdot 1!}=\frac{\sout{4!}\cdot 5\cdot {\sout{6}}^3}{1\cdot \sout{2}\cdot \sout{4!}}\cdot \frac{\sout{3!}\cdot 4}{1\cdot \sout{3!}}=15\cdot 4=60$

 

$\overline{\overline{D}}=90+60+60=210$  

$P\left(D\right)=\frac{210}{6^4}=\frac{35}{6^3}=\frac{35}{216}$