Liczba uczniów klas pierwszych:   $x$  

Liczba uczniów klas drugich:  $130$  

Liczba uczniów klas trzecich:  $100$  

 

Pierwszy wariant 

Musimy wybrać 3 osoby z pierwszej klasy, 3 osoby z drugiej klasy oraz 3 osoby z trzeciej klasy:

$\underset{\text{pierwsza klasa}}{\underbrace{x\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)}}\cdot \underset{\text{druga klasa}}{\underbrace{130\cdot 129\cdot 128}}\cdot \underset{\text{trzecia klasa}}{\underbrace{100\cdot 99\cdot 98}}$  

 

Drugi wariant 

Musimy wybrać 4 osoby z pierwszej klasy, 2 osoby z drugiej klasy oraz 3 osoby z trzeciej klasy:

$\underset{\text{pierwsza klasa}}{\underbrace{x\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)\cdot \left(x-3\right)}}\cdot \underset{\text{druga klasa}}{\underbrace{130\cdot 129}}\cdot \underset{\text{trzecia klasa}}{\underbrace{100\cdot 99\cdot 98}}$  

 

Wiemy, że w pierwszym wariancie mamy dwa razy więcej możliwości niż w drugim wariancie:

$x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdot 130\cdot 129\cdot 128\cdot 100\cdot 99\cdot 98=2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\cdot 130\cdot 129\cdot 100\cdot 99\cdot 98$  

Pozbywamy się wszystkich czynników naturalnych, które występują po obu stronach (dzielimy przez nie obustronnie):

$x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdot 128=2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)$  

Wiemy, że w drugim wariancie wybierane są 4 osoby z pierwszej klasy, co oznacza, że klasa pierwsza musi liczyć co najmniej 4 osoby, a więc wartości wyrażeń x, x-1, x-2, x-3 na pewno są liczbami dodatnimi. Możemy więc podzielić obustronnie przez x(x-1)(x-2) bez obawy, że dzielimy przez zero. 

$128=2\left(x-3\right)\mid :2$  

$64=x-3\mid +3$  

$x=67$  

Odpowiedź:

Klasy pierwsze liczą 67 uczniów.