a) Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. 

Wielokąt jest ośmiokątem foremnym. Możemy podzielić go na osiem przystających trójkatów równoramiennych.

Miara kątaznajdującego się pomiędzy promieniami poprowadzonymi do sąsiadujących wierzchołków wynosi 45^o:

${360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$   

 

Zauważymy, że jeżeli połączymy dwa takie trójkąty, to otrzymamy deltoidy (wówczas ośmiokąt foremny możemy podzielić na 4 deltoidy).

Aby obliczyć pole deltoidu ABCO, musimy znać długości odcinków OB i AC.

Odcinek OB jest promieniem koła, więc jego długość to 6 cm:

$\left|OB\right|=6\text{cm}$  

Trójkąt AOC jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, więc długość odcinka CA wynosi:

$\left|CA\right|=6\sqrt{2}\text{cm}$  

 

Obliczamy pole deltoidu ABCO:

$P_{ABCO}=\frac{{\sout{6}}^3\cdot 6\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=18\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$   

Ośmiokąt składa się z czterech przystających deltoidów więc jego pole jest równe:

$P_o=4\cdot 18\sqrt{2}=72\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$

 

Deltoid ABCO możemy podzielić na dwa trójkąty: AOC oraz ACB.

Trójkąt AOC jest prostokątnym trójkątem równoramiennym o przyprostokątnych długości 6 cm, więc jego pole wynosi:

$P_{AOC}=\frac{6\cdot {\sout{6}}^3}{{\sout{2}}^1}=18{\left[\text{cm}\right]}^2$     

Pole trójkąta ACB obliczymy odejmując od pola deltoidu ABCO pole trójkąta AOC:

$P_{ACB}=P_{ABCO}-P_{AOC}=18\sqrt{2}-18=18\left(\sqrt{2}-1\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Pole trójkąta ACB możemy także obliczyć następująco:

$P_{ACB}=\frac{\left|CA\right|\cdot \left|PB\right|}{2}$  

Podstawiamy dane do wzoru na pole trójkąta ACB:

$18\left(\sqrt{2}-1\right)=\frac{6\sqrt{2}\cdot \left|PB\right|}{2}\mid \cdot 2$