Uzupełniona tabela:

Liczba wierzchołków wielokąta foremnego	Miara kąta α	Miara kąta ß
10	144o	36o
9	140o	40o
15	156o	24o

 

Obliczenia:

1. Wielokąt foremny ma 10 wierzchołków. Wyznaczamy kąt pomiędzy promieniami okręgu poprowadzonymi do dwóch sąsiednich wierzchołków (kąt ß).

Promienie poprowadzone do wierzchołków podzielą wielokąt foremny na 10 trójkątów równoramiennych.

Tym samym podzielą kąt 360^o na 10 kątów, każdy o mierze ß.

${360}^{\circ }:10={36}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąt α ma taką samą miarę, jak suma dwóch pozostałych kątów w trójkącie równoramiennym wyznaczonym przez promienie.

Stąd:

$\alpha ={180}^{\circ }-{36}^{\circ }={144}^{\circ }$

$\underline{\underline{}}$  

2. Miara kąta ß wynosi 40^o. Kąt 360^o podzielony został więc na 9 trójkątów równoramiennych:

${360}^{\circ }:{40}^{\circ }=9$  

Tym samym wielokąt ma 9 boków, a co za tym idzie 9 wierzchołków.

Kąt α ma taką samą miarę, jak suma dwóch pozostałych kątów w trójkącie równoramiennym wyznaczonym przez promienie.

Stąd:

$\alpha ={180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$  

$\underline{\underline{}}$   

3. Miara kąta α wynosi 156^o. Tak jak w poprzednich przykładach, kąt α ma taką samą miarę, jak suma dwóch pozostałych kątów w trójkącie równoramiennym wyznaczonym przez promienie. Brakując kąt w trójkącie będzie odpowiadał kątowi ß:

$\beta ={180}^{\circ }-{156}^{\circ }={24}^{\circ }$  

Miara kąta ß wynosi 24^o. Kąt 360^o podzielony został więc na 15 trójkątów równoramiennych:

${360}^{\circ }:{24}^{\circ }=15$  

Tym samym wielokąt ma 15 boków oraz 15 wierzchołków.