Matematyka

Matematyka 2001 (Zbiór zadań, WSiP)

Czy graniastosłup może mieć:... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Czy graniastosłup może mieć:...

7
 Zadanie
8
 Zadanie

9
 Zadanie

10
 Zadanie

a) graniastosłup nie może mieć 20 krawędzi ponieważ liczba 20 nie dzieli się bez reszty przez 3, a wiemy, że

graniastosłupa ma taką samą liczbę krawędzi w obu podstawach oraz liczbę krawędzi bocznych


b) graniastosłup może mieć 11 ścian, zauważmy, że graniastosłup, który ma w podstawie dziewięciokąt ma 11 ścian

(9 ścian bocznych i 2 ściany w podstawach)


c) graniastosłup może mieć 14 wierzchołków, zauważmy, że graniastosłup, który ma w podstawie siedmiokąt
ma 14 wierzchołków


d) graniastosłup nie może mieć jednocześnie 15 krawędzi i 7 ścian bocznych ponieważ:

graniastosłup, który ma 15 krawędzi ma w podstawie pięciokąt

graniastosłup, który ma 7 ścian bocznych ma w podstawie siedmiokąt 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Anna Dubiecka, Barbara Dubiecka-Kruk, Zbigniew Góralewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Ola

16694

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 
Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

img01

Graniastosłupy mogą być:
 
  • Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
  • Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

img02

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

img03

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

img04

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie