Matematyka

Które z liczb należących do zbioru 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Można byłoby podstawiać kolejne liczby w miejsce x, ale możemy też klasycznie rozwiązać równanie. 

Szukamy pierwiastków wielomianu w, więc chcemy rozwiązać równanie:

`x^4-8x^2-9=0` 

 

Podstawmy:

`x^2=t,\ \ \ t>=0` 

Wtedy równanie jest postaci:

`t^2-8t-9=0` 

`Delta=(-8)^4-4*1*(-9)=64+36=100` 

`sqrtDelta=10` 

`t_1=(8-10)/2=(-2)/2=-1<0` 

`t_2=(8+10)/2=18/2=9` 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (jest ujemne). Mamy więc:

`t=9\ \ \ =>\ \ \ x^2=9\ \ \ =>\ \ \ x=3\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3` 

Pierwiastkami równania są więc liczby -3 oraz 3. 

 

 

 

`b)` 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

`w(-3)=(-3)^3-2*(-3)^2-5*(-3)+6=-27-18+15+6ne0` 

`w(-2)=(-2)^3-2*(-2)^2-5*(-2)+6=-8-8+10+6=0` 

`w(-1)=(-1)^3-2*(-1)^2-5*(-1)+6=-1-2+5+6ne0` 

`w(0)=0^3-2*0^2-5*0+6=6` 

`w(1)=1^3-2*1^2-5*1+6=1-2-5+6=0` 

`w(2)=2^3-2*2^2-5*2+6=8-8-10+6=-4ne0` 

`w(3)=3^3-2*3^2-5*3+6=27-18-15+6=0` 

 

Pierwiastkami wielomianu w są liczby -2, 1, 3.

 

`c)` 

Zauważmy, że wielomian w można łatwo zapisać w postaci iloczynowej.

`w(x)=x^3+2x^2-16x-32=x^2(x+2)-16(x+2)=(x+2)(x^2-16)=(x+2)(x-4)(x+4)` 

Pierwiastkami wielomianu w są więc liczby -2, 4, -4. 

Z liczb należących do podanego zbioru jedynym pieriwastkiem wielomianu w jest -2.

 

 

`d)` 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

`w(-3)=(-3)^3-5*(-3)^2+7*(-3)-3=-27-45-21-3ne0` 

`w(-2)=(-2)^2-5*(-2)^2+7*(-2)-3=-8-20-14-3ne0` 

`w(-1)=(-1)^3-5*(-1)^2+7*(-1)-3=-1-5-7-3ne0` 

`w(0)=0^3-5*0^2+7*0-3=-3ne0` 

`w(1)=1^3-5*1^2+7*1-3=1-5+7-3=0` 

`w(2)=2^3-5*2^2+7*2-3=8-20+14-3=-1ne0` 

`w(3)=3^3-5*3^2+7*3-3=27-45+21-3=0` 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Zobacz także
Udostępnij zadanie